大衍求一术(大衍求一术是什么意思)

恶霸与天才，瑕不掩瑜，大衍求一术闪耀数坛

秦九韶(1208年-1268年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

01进士父亲因材施教，特色教导助推儿快成长

秦九韶的父亲——秦季槱，于1193年与乔行简、崔与之、陈亮等同年登进士第，考上第三名， 授以 “进士出身” 学位 ，嘉定时期（1208-1224）为巴州守 （今四川巴中） 。“守” 是官名， 州一级行政区域的最高长官。他是一位学识渊博、 办事极为认真的人。

秦季槱是一个随性诱导的开明家长， 又是一个因材施教的明智老师。而对爱子九韶， 不主张他成天死读书， 束缚灵性。他抛开戒律， 循循善诱， 顺其自然， 任其发展， 既不压抑特长， 也不赶鸭子上架。

他采取既重文章又重技艺之路，希望把爱子九韶培养成才。秦九韶在他父亲指导下， 有计划、 有步骤、 由浅入深地学习了 《四书五经》、 《四书》指 《论语》 、 《大学》、《中庸》......，正是由于父亲的循循善诱才成就了后来声名显赫的秦九韶。

02 天才在于勤奋，知识在于积累

秦九韶自幼生活在家乡，18岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移居京部。他是一位非常聪明的人，钻研刻苦，好学不倦。

其父任职工部郎中和秘书少监期间，给秦九韶提供了良好的学习环境。秦九韶充分利用父亲掌管天下城郭、宫室、舟车、器械、符印、钱币、山泽、苑囿、河渠之政、营造工程、皇家古今经籍图书、国史实录、天文历数之事等有利条件和机会，集中精力，向‘太史局的吴泽、靳大声、杨忠辅、刘孝荣等有学识的太史、官吏、学者学习，使之成为博学多能的青年学者。”

此外，他凭借着热心好学、钻研刻苦的精神，曾向著名词人李刘学习骈俪诗词，并达到较高造诣。应该说：秦九韶随父亲在临安期间的数年间，已经把全部精力用在学习上。他正是这样通过向多方面的人学习，才逐渐成为一名学识广博的青年学者。

1225年7月，秦九韶随父亲至潼川（今三台县）。蒙古军队已侵入今甘肃、陕西一代，北方的抗蒙（元）斗争如火如荼。南宋朝廷“募义兵五千人，与民约日：‘敌至则官军守原堡，民丁保山砦，义兵为游击。”在各地建立了民间武装。通武知兵的秦九韶担任了民问武装的“义兵首”，维护地方治安。四年后，绍定二年（1229）十月，秦九韶被擢升为郪县县尉（三台图书馆《郪县志》）。

03 嚣张跋扈，视人命如草芥，穷凶极恶谋害亲子 , “毒如蛇蝎”还是“瑰奇仁人”？

秦九韶在后世成了一个有争议的人物。所有宋史和地方志都未为秦九韶列传，他的名字时隐时现，后裔也下落不明。不仅中文数论教科书里不出现他的名字，中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像，甚至英国BBC制作播出的4集纪录片《数学的故事》在夸赞他的学术成就之余（秦是唯一提及的中国数学家），也渲染其道德污点。

《郪县志》介绍，同代人刘克庄说他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，是“不孝、不义、不仁、不廉”的代表，平日横行乡里，恶霸一方，所以多次被褫去官职或取消任命。他将他上司的田产“以术攫取之”；他命令手下杀死自己的儿子，而且亲自设计了毒死、用剑自裁、溺死三种方案。当得知这名手下偷偷放了他儿子时，他竟巨额悬赏，满世界追杀儿子和这名手下。

在父亲的宴席上，带出席。将他上司的田产“以术攫取之”，在其中建造他的超豪华庄园（他亲自设计那些奇特的房屋）。

他命令手下杀死自己的儿子，并亲自设计毒死、用剑自裁、溺死三种方案；当得知这名手下偷偷放了他儿子时，他竟巨额悬赏，满世界追杀儿子和这名手下。

一年夏天，秦九韶与宠爱的姬妾月夜在庭院中交欢，不料被一个汲水的仆役撞见，他认为那仆役有意窥探他的隐私，诬告该仆役偷盗，并将其送官，要求判仆役黥面流放。

地方官认为该仆役罪不至此，没有按照秦九韶的要求判决，秦九韶为此怀恨地方官，竟企图将他毒死。据相关资料记载，秦九韶“多蓄毒药，如所不喜者，必遭其毒手”。

04 详说数学成绩，闪耀数坛著《数学九章》

A. 大衍求一术

宋理宗淳祐四年（1244年），十一月，秦九韶解官建康通判，回湖州丁母忧，一边为母亲守灵，一边把自己几十年勤奋学习、苦心钻研、实践、总结的数学成就结晶，精选出来的较有代表性的81个问题，分为9类，每类9题，编辑成18卷，淳祐七年，世界最高水平的数学名著《数书九章》成书。

秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平。

秦九韶在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法．

这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说，计算机发明以后，解方程变得有趣了。确实是这样，秦九韶的高次方程数值解法，可以毫无困难地转化为计算机程序。在《数书九章》中，秦九韶列举了20多个解方程问题，次数最高达10次．除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特 殊情形，并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题．

在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1804年，意大利数学家P．鲁菲尼(Ruffini，1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题，而1819年英国数学家W．G．霍纳(Horner，1786—1837)在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”．秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。

秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一杰出贡献。中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积年的需要而产生的。最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物不知数问题”(亦称“孙子问题”)：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几有何？”这相当于求解一次同余组。

秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值解法一样，简洁、明确、带有很强的机械性，其程序亦可毫无因难地转化为算法语言，用计算机来实现．在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题中的广泛应用．由于在许多问题中，模数Ai并非两两互素，而中国传统数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题．秦九韶所设计的将模数比为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”。

综观他在求解一次同余组问题的各项成就，正如中科院研究员李文林、袁向东所说：“所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧。”

中国剩余定理是中国古代数学的精华，是巅峰之作，其后五百年，德国数学天才高斯才再次独立证明。它的表述有更高级的形式，环同态的一个定理。

《数书九章》中，除了前面提到的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，还记载了不少其他方面的成就．例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的直除法，已同今天所用的方法完全一致；在开方中，他发展了刘徽开方不尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值；他对于《九章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发。

《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会经济领域的真实情况。

《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。

B. 三斜求积术

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。在秦九韶的《数书九章》有以下文字：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？答曰：三百一十五顷,.

其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定。 若给出任意一个三角形三边长，你能求出它的面积吗? 翻阅了各种资料后发现，古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年)，也发现类似规律。在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积为

据称《度量衡》一书曾一度失传，直至1896年舍尔（R.Schone）在土耳其发现了它的手抄本后，才于1903年校订出版。

这一公式称为海伦公式;海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式。又据阿拉伯数学家比鲁尼（A.R.al-Biruni）称，该公式源于阿基米德，这个考证也曾得到“圈内”人士的认可（尽管如此，人们还是将它冠以海伦之名）。

海伦公式与三斜求积术本质是一样的，它们是可以相互推导的。其实这两个公式实质是一致的，聪明的你能够推导出来吗?

对比这两个公式，我们发现海伦公式形式漂亮，便于记忆，但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是秦九韶公式处理比较方便。

05 反思与总结

其一, 秦九韶少年时期，受到父亲的启蒙，父亲因材施教，对他抛开戒律，循循善诱，为他以后卓越的数学成就奠定了基础；

其二，“天才在于勤奋，知识在于积累”，秦九韶之所以能够在数学领域成就显赫，除了和他自身的聪明有关外，更得益于他长期以来对数学知识的孜孜以求和不断刻苦钻研的精神。

其三，其实一个人的成就与他的本性并没有必然联系，秦九韶，一个伟大的数学天才，他的《数学九章》成为世界上最高水平的数学专著，但我们不能因为他的伟大成就而忽略他人性中的恶，也不能因为他人性中的恶而否定他的伟大成就。

总之，秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。

参考文献

1. 秦九韶的数学成就均参考《世界著名数学家传记》上集《秦九韶》;

2.杨国选2004年湖州全国全国秦九韶学术研讨会大会学术报告论文《秦九韶在四川》.

“大衍求一术”之二-余数周期表破解“求一术”算法的历史谜团

余数周期表是把余数方程ax≡C(modm)（|a|>m>0的整数）所产生的全部余数及其整数解，按照以模m为周期循环值，以整数解的自然数列顺序依次作为项数排列成的一个表。任一余数方程，当a、m的整数值确定之后，就独立的对应着一个余数周期表。这个表共有m项，首项基本余数是a≡C0（0<|C0|≤m/2），末项余数是m（或0），表中的任一项余数都可由首项基本正（负）余数自变转化求得，第n项的绝对值最小余数通项公式可用，nC0≡Cn（modm）（0<|Cn|≤m/2），表中的任一项数组成的同余类表为Xn±km中的任一项数值都是这一项的余数同余类Cn±km中任一余数值的整数解。周期表中的任一余数都具有众多的递变规律和众多的性质。[1]用余数周期表求解一次同余方程的实质，就是用周期表的各种递推变规律和性质，对余数在周期表中的项数进行推算，一直推算到题目要求的指定余数落在的基本项 数，就是余数方程的结果。因此，周期表解题，并不需要列表计算，人的大脑就是无以数计的周期表的表库，这些无以数计的周期表共同遵守着众多的递变规律和性质，可以对古今中外一次同余方程的各类解法进行解释。证明，甚至简化和改进，其中就包括驰名中外的“大衍求一术”（可用“它变律”简化）、欧几里德算法（可用“复变律”简化）和欧拉公式解法（可用“自变律解释”）。余数周期表的递变规律和性质基本全部覆盖现今初等数论中的一次同余理论。因此，余数周期表在一次同余理论中具有重要的核心地位和作用。[2]下面是用余数周表的理论破解“求一术”算法之谜，解开若干个世纪都悬而未决的历史谜团，为了让人们直观性地理解“求一术”各个算式的含义和计算理由，我们仍以例1用它变律进行具体剖析，由此可见一斑。

周期表对“求一术”计算过程剖析和解释

（1）例1中首个算式表明，余数方程未知数系数987,连续减去模数377的倍数，得到周期表的首项基本正余数233,表明233在1项，233有一个整数解是“1”,可表为X（233）＝1。其项数变化质是1.

将第一个除法等式移项得：233·1-337＝-144。此式表明：首项正余数递增1次，余数仍保持在1项，再以模377递减一次，得到一个绝对值较小的余数-144因模377的变化质为0，以它为标准它变1次，不影响项数变化，因此-144仍在第1项（是第1项的基本负余数），-144有一个整数解是1,可表为X（-144）＝1，-144的项数变化质仍是1。

（3）将第二个除法算式移项得（-144）·1+233＝89。此式表明余数（-144）自变一次，再以233它变1次（递增）得到一个绝对值更小的余数89,因（-144）在1项自变1次仍在1项，因233的变化项是1,递增1次后应加上它的变化质1，因此，89落在的项数应是：1·1+1＝2项，89有一个整数解是：X（89）＝2项，其项数变化质是2。

按上面方法往下推，“求一术”左列式的除法算式分别移项整理，右列式的Xn值对除法算式的余数进行项数推算，可得到下面的两列式：

987≡233（mod377） X(233)＝1

233·1-377＝-144 …:X(-144)＝1·1-0＝1

（-144）·1+233＝89 …X(89)＝1·1+1＝2

89·1+（-144）＝-55 …X(-55)＝2·1+1＝3

（-55）·1+89＝34 …X(34)＝3·1+2＝5

34·1+（-55）＝-21 …X(-21)＝5·1+3＝8

（-21）·1+34＝13 …X(13)＝8·1+5＝13

13·2+（-21）＝5…X(5)＝13·1+8＝21

（5）·3+13＝5 …X(5)＝21·1+13＝34

5·2+（-8）＝2…X(一3)＝34·2+21＝55

（-13）·+5=8:…X(一8)＝55·1+34＝89

2·1+（-3）＝-1… X(-1)＝89·1+55＝144

这就是余数周期表对“求一术”全部除法算式产生的余数在周期表中的项数推算，其结果获得的项数推算值和“求一术”的Kn值推算完全一样，如果我们把周期表左列式的除法算式移项还原，右列式的项数Xn用Kn值代换，就会原分不动的恢复到“求一术“的解法算式。细心的读者可能发现周期表表达出来的除法算式的余数，反常的出现了有一半是负余数，有一半是正余数的现象，但是每个余数却准确地对 应着一个整数解，除法算式的最后一步结果：“-1”的整数解就是“144”，用不着象“求一术”那样要对余数符号作一个强制性的规定。这里有一个令人难于理解的问题，“求一术”在辗转相除过程中，每个余数取的都是正余数，但用周期表来解释，怎么会出现负余数呢？

实际上，负余数的出现是辗转相除法的性质引发的负数效应。若干个世纪以来，人们对辗转相除法性质的认识，完全走进死胡同，进入误区不能自拨。如果光从一个带余数除法孤立地、片面地看，带余数除法产生的余数，的确是一个小于除数而大于零的余数，但从辗转相除的全过程来看，余数在模m控制的余数范围内，情况就不是这样了。因为除法算式中的除数，实质上就是一个减数（负数），如果我们用上一个除法算式的正余数，作为下一个除法算式中的除数，必然改变了这个正余数属性（正负），引发负效应，而得出相反的结论。为什么“求一术”偶等式的余数又能推算出正确的整数解呢？这并不是“求一术”采用正确的方法获得的，而是以错改错反而获得正确结果。严格地说：“求一术”在辗转相除过程中，每一步除法算式都采用一个错误的余数符号来计算的，但是有的算式是以错改错，促使部分算式获得正确结论。

我们不妨以例1中的余数推算来阐明这个道理。比如“233”我们是把它看作是一个正余数而存在，它有一个整数解是“1”，但在第一个除法算式中却变成了：377-233·1＝144,无形中改变了“233”的本质属性（符号），因此，得到了一个表达不准确的余数“144”（实际应是-144）推算出来的K1=1就不是144的整数解，影响了这个算式的正确结论。为什么第二个除法算式又会获得正确结论呢？因为第二个除法等式“233-144·1＝89”中，又把表达错误的“144”再次改变符号，表示成“-144”，这次错改，却把余数“233”和“-144”的本质属性正确地表达出来了，因此获得下一个正确的余数“89”的整数解就是“K2＝1·1+1=2”这个正确的结论。以下的奇偶等式重复操作这种错误的表达式直到“1”。如果“1”落在奇等式，Kn值就不是“1”的整数解（应是“-1”的整数解），如果1落在偶等式，Kn值就是“1”的整数解，这就是秦九韶为什么在最后一步，要作出一个强制性的符号规定的原因。

世界上的事物真是无独有偶，当我们用“偶几里德算法”反向推导“1”（或正公约数）的表达式到原不定方程获取“1”（或正公约数）的两个整数解时，如果“1”（或正公约数）落在辗转相除中的奇等式上时，我们最后获得的竟是“-1”（或负公约数）的两个整数解，而不是“1”（或正公约数）的两个整数解。“求一术”是正向推算余数方程的整数解，欧几里德是逆向推导不定方程的两个整数解，二者方 法各异，殊途同归。这就进一步从正反两方面有力地证实了，在辗转相除过程中，负余数“-1”，负公约数的产生的强大生命力，是不可抗拒的。

综上所述，余数在辗转相除过程中，负余数的产生是一个不以人的意志为转移的客观存在，是无法回避的。数学家们曾采取措施和办法，用带余数除法力图把余数控制在正余数范围内运算，但还是枉费心机，劳而无功，负余数产生的次数和概率仍然与正余数平分秋色，占去了“半边天”的位置。令人困惑不解的是：为什么“求一术”竟反应不出这些真实存在的负余数呢？这个原因要归结到余数的表达式上来。在辗转相除法的过程中，用带余除法表达余数是一个很大的错误。我们运用辗转相除法解同余方程，主要的研究对象是余数和余数的转化，因此，在除法算式中，要把余数的表达放在主体和主导地位来考虑，要以主体形态表达出来，才能刻划出余数的本质。然而带余数除法却把余数放在客体和被动地位，余数的本质属性（正负、绝对值大小、变化质）无法得到准确的表达，余数的应用功能受到极大的限制，因此余数方程的解法也就活不起来，为什么“求一术”和“欧几里德算法”只能从单一解题渠道、唯一方法获得结果，就是带余数除法限制了余数的使用功能而造成的原因。

周期表对“求一术”全方位的剖析和解释，找到了个一个准确的余数表达式，彻底纠正了“求一术”除法算式中产生的一个错误的余数符号。解开了困扰人们若干个世纪的历史谜团和怪异现象。与此同时，“求一术”的解法顺理成章地得到跨越式的飞跃和突破。

南宋数学家秦九韶：“中国剩余定理”的开创者

四川日报

他

所著《数书九章》，被称为“算中宝典”

他

善于创新，用数学解决百姓的实际问题

德国数学家高斯提出的同余理论，是数论的重要内容之一。他之前五百多年的中国古代，有一位名叫秦九韶的数学家就提出了同样的解法。他的理论被西方称为“中国剩余定理”，也代表着当时世界上数学研究的先进水平。

秦九韶是南宋四川人，是我国古代宋元数学研究高峰时期的主要代表人物，也是古代数学集大成者，被誉为“宋元数学四大家”之一。在第二批四川历史名人中，秦九韶是唯一一位来自科学领域的历史名人。

博学多才 他花费数十年完成《数书九章》

秦九韶1208年出生在普州(今资阳市安岳县)。他的祖父、父亲都是进士。秦九韶的青少年时代，基本都是在四川度过的。此外，秦九韶还曾被父亲带到当时的京城等地拜访各领域名师，苦学六艺，博览群书。

“这样的家庭氛围和教育背景，加上个人的聪颖好学、刻苦勤奋，秦九韶成为了一位通才，精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造等多方面知识。”省社科院副院长、教授姚乐野介绍。

尤其是在数学上，秦九韶取得了极高的成就。姚乐野说，秦九韶在吸收了中国古代数学精华的基础上，继续钻研和发展，完成了《数书九章》一书，“完成《数书九章》并非一日之功，秦九韶花费了数十年之久。”

据介绍，《数书九章》全书九章18卷。每章为一类，每类9题共计81个算题，内容极其丰富，上至天文、星象、历律、测候，下至河道、水利、建筑、运输。著述方式主要包括“问曰”“答曰”“术曰”“草曰”四部分，即提出问题、解答问题、阐述解题原理和步骤，给出详细解题过程。

“东西方数学各有所长。西方以系统性、逻辑性取胜，东方以实用性、构造性见长。”在《数书九章》中，秦九韶就记述了“天池测雨”的方法，其中需要使用的“天池盆”，是现存最早记录的量雨器。

在《数书九章》中，秦九韶还创立了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”。“正负开方术”即开高次方和解高次方程，领先英国数学家霍纳五百多年。“大衍求一术”即一次同余方程组问题的解法，就是现在所称“中国剩余定理”。

扬名海内外 他得到了国际数学界的公认

《数书九章》完成后，秦九韶就受到当时皇帝的接见。

作为杰出的中国古代数学家，秦九韶的成就也在后世得到了认可。其著作《数书九章》中的许多计算方法和经验常数，至今仍有很高的参考价值和实践意义，因此也被称为“算中宝典”。后来，《数书九章》还被收录进了《永乐大典》和《四库全书》，足见其在中国数学史上的地位。

秦九韶也扬名海外。姚乐野介绍，国际上许多研究数学史的专家，也高度评价秦九韶，并且出版了很多关于他的研究成果。比利时鲁汶大学教授李倍始，在1973年就曾出版了英文版本的《13世纪的中国数学》，着重介绍了秦九韶的数学成就。

姚乐野介绍，1987年，纪念秦九韶《数书九章》成书740周年国际学术研讨会在北京师范大学举行，吸引国内外很多专家参会。后来，该会议的成果还被集纳出版，形成了一本专门的论文集。就这样，秦九韶的成就得到了国际数学界的公认。

而在民间，至今还有秦九韶“巧断农夫边界案”的故事。据说，秦九韶任地方官时，经常利用业余时间来思考数学问题。有一次，因发生暴雨，洪水冲毁了农田。两位农夫对划定的田土边界互不认同而发生争执。秦九韶耐心听完两人诉说，大步走入田中，以步量测算了残大、小斜等数据，帮他们重新划分了边界。对秦九韶划分出的边界，两位农夫都很满意，逢人便说。后来，秦九韶帮农民划分边界的事情就在当地传开了。不少农民纷纷找秦九韶帮忙划分和解决被洪水冲毁田地的边界，秦九韶就教他们一些简单、易学、适用的田地面积计算方法，让大家自己解决边界划分中的问题。

姚乐野说，在今天，秦九韶孜孜以求、善于创新的精神，依然十分值得我们学习。他的数学思想是中华优秀传统文化的重要组成部分，反映了中国古代科学的先进性。

寻迹秦九韶

秦氏祖孙三代三进士

人物名片

秦九韶(公元1208年—公元1268年)，字道古，出生于普州(今资阳市安岳县)，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、营造之学。南宋绍定五年(公元1232年)考中进士，历任建康府通判、江宁府知府等，后遭贬，卒于梅州(今广东省梅州市)任所。

秦九韶的数学专著《数书九章》，被收入《永乐大典》和《四库全书》。该书系统总结和发展了高次方程数值解法和一次同余式组解法，创立了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，代表了当时世界数学发展的最高水平。

如今，在秦九韶家乡安岳，保存有秦苑斋、秦九韶纪念馆、秦九韶广场等遗址和纪念场馆。

其中秦苑斋是秦氏家族世袭宅邸。秦九韶出身书香门第。其祖父、父亲还有秦九韶本人，祖孙三代三进士。曾经有人将他们与苏轼三父子作类比。例如南宋著名理学家、思想家魏了翁，在《普州贡院记》中提到，“东普西眉，人文荟萃，文化鼎盛。”

秦九韶从小聪颖好学。严格的家教和良好的家庭氛围，也激发了他对数学的兴趣。

秦九韶十三四岁时，他的父亲秦季槱到南宋京城临安(今浙江省杭州市)担任国家大考的“考试官”。秦九韶也随父亲到了京城。秦季槱结交的很多朋友，都是各个领域的著名学者，知识渊博、学问高深。为此，秦九韶拜了天文历法、文学、建筑以及数学等多领域的著名学者为师，为他日后完成《数书九章》打下扎实基础。

当时的京城之中，秦九韶拜了一位对他人生影响最大的老师——当时的左丞相吴潜。吴潜是南宋的“状元宰相”，与另一位“状元宰相”文天祥齐名。在四川，秦九韶也拜了魏了翁为师。他还曾专程到蒲江鹤山书院听魏了翁讲学。

因为这样的经历，秦九韶对数学的研究，并不只是停留在纸面上，而是与社会生产生活息息相关。他的数学专著《数书九章》也从某一些方面反映了当时的政治制度、社会经济等内容。(四川日报记者 吴梦琳)

恶霸与天才，瑕不掩瑜，大衍求一术闪耀数坛

秦九韶(1208年-1268年)，字道古，汉族，生于普州安岳(今四川省安岳县)人，祖籍鲁郡(今河南范县)。南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。

01进士父亲因材施教，特色教导助推儿快成长

秦九韶的父亲——秦季槱，于1193年与乔行简、崔与之、陈亮等同年登进士第，考上第三名， 授以 “进士出身” 学位 ，嘉定时期（1208-1224）为巴州守 （今四川巴中） 。“守” 是官名， 州一级行政区域的最高长官。他是一位学识渊博、 办事极为认真的人。

秦季槱是一个随性诱导的开明家长， 又是一个因材施教的明智老师。而对爱子九韶， 不主张他成天死读书， 束缚灵性。他抛开戒律， 循循善诱， 顺其自然， 任其发展， 既不压抑特长， 也不赶鸭子上架。

他采取既重文章又重技艺之路，希望把爱子九韶培养成才。秦九韶在他父亲指导下， 有计划、 有步骤、 由浅入深地学习了 《四书五经》、 《四书》指 《论语》 、 《大学》、《中庸》......，正是由于父亲的循循善诱才成就了后来声名显赫的秦九韶。

02 天才在于勤奋，知识在于积累

秦九韶自幼生活在家乡，18岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移居京部。他是一位非常聪明的人，钻研刻苦，好学不倦。

其父任职工部郎中和秘书少监期间，给秦九韶提供了良好的学习环境。秦九韶充分利用父亲掌管天下城郭、宫室、舟车、器械、符印、钱币、山泽、苑囿、河渠之政、营造工程、皇家古今经籍图书、国史实录、天文历数之事等有利条件和机会，集中精力，向‘太史局的吴泽、靳大声、杨忠辅、刘孝荣等有学识的太史、官吏、学者学习，使之成为博学多能的青年学者。”

此外，他凭借着热心好学、钻研刻苦的精神，曾向著名词人李刘学习骈俪诗词，并达到较高造诣。应该说：秦九韶随父亲在临安期间的数年间，已经把全部精力用在学习上。他正是这样通过向多方面的人学习，才逐渐成为一名学识广博的青年学者。

1225年7月，秦九韶随父亲至潼川（今三台县）。蒙古军队已侵入今甘肃、陕西一代，北方的抗蒙（元）斗争如火如荼。南宋朝廷“募义兵五千人，与民约日：‘敌至则官军守原堡，民丁保山砦，义兵为游击。”在各地建立了民间武装。通武知兵的秦九韶担任了民问武装的“义兵首”，维护地方治安。四年后，绍定二年（1229）十月，秦九韶被擢升为郪县县尉（三台图书馆《郪县志》）。

03 嚣张跋扈，视人命如草芥，穷凶极恶谋害亲子 , “毒如蛇蝎”还是“瑰奇仁人”？

秦九韶在后世成了一个有争议的人物。所有宋史和地方志都未为秦九韶列传，他的名字时隐时现，后裔也下落不明。不仅中文数论教科书里不出现他的名字，中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像，甚至英国BBC制作播出的4集纪录片《数学的故事》在夸赞他的学术成就之余（秦是唯一提及的中国数学家），也渲染其道德污点。

《郪县志》介绍，同代人刘克庄说他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”，是“不孝、不义、不仁、不廉”的代表，平日横行乡里，恶霸一方，所以多次被褫去官职或取消任命。他将他上司的田产“以术攫取之”；他命令手下杀死自己的儿子，而且亲自设计了毒死、用剑自裁、溺死三种方案。当得知这名手下偷偷放了他儿子时，他竟巨额悬赏，满世界追杀儿子和这名手下。

在父亲的宴席上，带出席。将他上司的田产“以术攫取之”，在其中建造他的超豪华庄园（他亲自设计那些奇特的房屋）。

他命令手下杀死自己的儿子，并亲自设计毒死、用剑自裁、溺死三种方案；当得知这名手下偷偷放了他儿子时，他竟巨额悬赏，满世界追杀儿子和这名手下。

一年夏天，秦九韶与宠爱的姬妾月夜在庭院中交欢，不料被一个汲水的仆役撞见，他认为那仆役有意窥探他的隐私，诬告该仆役偷盗，并将其送官，要求判仆役黥面流放。

地方官认为该仆役罪不至此，没有按照秦九韶的要求判决，秦九韶为此怀恨地方官，竟企图将他毒死。据相关资料记载，秦九韶“多蓄毒药，如所不喜者，必遭其毒手”。

04 详说数学成绩，闪耀数坛著《数学九章》

A. 大衍求一术

宋理宗淳祐四年（1244年），十一月，秦九韶解官建康通判，回湖州丁母忧，一边为母亲守灵，一边把自己几十年勤奋学习、苦心钻研、实践、总结的数学成就结晶，精选出来的较有代表性的81个问题，分为9类，每类9题，编辑成18卷，淳祐七年，世界最高水平的数学名著《数书九章》成书。

秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平。

秦九韶在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法．

这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说，计算机发明以后，解方程变得有趣了。确实是这样，秦九韶的高次方程数值解法，可以毫无困难地转化为计算机程序。在《数书九章》中，秦九韶列举了20多个解方程问题，次数最高达10次．除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特 殊情形，并将其广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题．

在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1804年，意大利数学家P．鲁菲尼(Ruffini，1765-1822)才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数根的近似值问题，而1819年英国数学家W．G．霍纳(Horner，1786—1837)在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”．秦九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。

秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一杰出贡献。中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积年的需要而产生的。最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物不知数问题”(亦称“孙子问题”)：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几有何？”这相当于求解一次同余组。

秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值解法一样，简洁、明确、带有很强的机械性，其程序亦可毫无因难地转化为算法语言，用计算机来实现．在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计地”等等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题中的广泛应用．由于在许多问题中，模数Ai并非两两互素，而中国传统数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题．秦九韶所设计的将模数比为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”。

综观他在求解一次同余组问题的各项成就，正如中科院研究员李文林、袁向东所说：“所有这些系统的理论，周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示了秦九韶高超的数学水平和计算技巧。”

中国剩余定理是中国古代数学的精华，是巅峰之作，其后五百年，德国数学天才高斯才再次独立证明。它的表述有更高级的形式，环同态的一个定理。

《数书九章》中，除了前面提到的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，还记载了不少其他方面的成就．例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的直除法，已同今天所用的方法完全一致；在开方中，他发展了刘徽开方不尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值；他对于《九章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发。

《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会经济领域的真实情况。

《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位。

B. 三斜求积术

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。在秦九韶的《数书九章》有以下文字：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？答曰：三百一十五顷,.

其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋，中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。

我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定。 若给出任意一个三角形三边长，你能求出它的面积吗? 翻阅了各种资料后发现，古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年)，也发现类似规律。在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式“如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记那么三角形的面积为

据称《度量衡》一书曾一度失传，直至1896年舍尔（R.Schone）在土耳其发现了它的手抄本后，才于1903年校订出版。

这一公式称为海伦公式;海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式，传说是古代的叙拉古国王希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式。又据阿拉伯数学家比鲁尼（A.R.al-Biruni）称，该公式源于阿基米德，这个考证也曾得到“圈内”人士的认可（尽管如此，人们还是将它冠以海伦之名）。

海伦公式与三斜求积术本质是一样的，它们是可以相互推导的。其实这两个公式实质是一致的，聪明的你能够推导出来吗?

对比这两个公式，我们发现海伦公式形式漂亮，便于记忆，但是如果一个三角形的三边长是无理数的时候，还是秦九韶公式处理比较方便。

05 反思与总结

其一, 秦九韶少年时期，受到父亲的启蒙，父亲因材施教，对他抛开戒律，循循善诱，为他以后卓越的数学成就奠定了基础；

其二，“天才在于勤奋，知识在于积累”，秦九韶之所以能够在数学领域成就显赫，除了和他自身的聪明有关外，更得益于他长期以来对数学知识的孜孜以求和不断刻苦钻研的精神。

其三，其实一个人的成就与他的本性并没有必然联系，秦九韶，一个伟大的数学天才，他的《数学九章》成为世界上最高水平的数学专著，但我们不能因为他的伟大成就而忽略他人性中的恶，也不能因为他人性中的恶而否定他的伟大成就。

总之，秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。

参考文献

1. 秦九韶的数学成就均参考《世界著名数学家传记》上集《秦九韶》;

2.杨国选2004年湖州全国全国秦九韶学术研讨会大会学术报告论文《秦九韶在四川》.

什么是“大衍求一术”？