理数是什么意思(理数是什么意思数学初一)

在很久很久以前，

我们的老祖先还只能用树叶遮挡着羞羞的部分，更还不会种地，

过着群居生活，靠着狩猎为生。

每天睡醒的第一件事考虑的就是：

今天该吃什么。

咱们说‘今天吃什么’，是选择恐惧症犯了。

祖先们可是得拿着木棍子和石头块子实打实地去追动物，

不卖力气那今天可就得挨饿了。

打到猎物之后，祖先们开始大口吃肉，

有一天一个人发现打到1头羊和3头羊是不一样的，

（当然他们那时候没有1和3的概念）

1头羊吃不饱，3头羊吃的撑。

慢慢地、慢慢地，

为了区分多少的不同，

人们对数逐渐有了概念。

这就是整数的来源，很富有生活气息，

可以说整数的概念的形成丝毫不亚于人类发现火的意义。

德国数学家利奥波德·克罗内克曾说过：

“上帝创造了整数，其他一切都由人制造”。

这揭示了整数所产生的内在必然性以及自然性。

又有一天，

祖先们只打回来了1头羊，

但是有3户人家，

这该怎么分呢、分完了怎么记下来呢？

分数应运而生。

正是因为分割食物这样的生活实际需要，才产生了分数。

上小学的时候，老师告诉我：

1、2、3……这种是整数，1/2、1/3、1/4这种形式的是分数。

但是我一直不明白为啥要区分整数和分数？

那时候的楠哥很单纯，

也不敢说也不敢问，

只是乖乖把老师说的话都记住了。

现在明白了：

数字不是冰冷的，是活生生的，充满烟火气的，是劳动人民经过实践生活发明的。

整数和分数合在一起，我们就统称为有理数。

无限循环小数都可以表示成分数，所以它也属于有理数。

来看一个不太严谨的计算：

0.6767……化成分数等于几？

毕达哥拉斯，古希腊数学家、哲学家。

在他把数的计算运用的登峰造极、炉火纯青之后，

有一天吃饱了躺在床上，望着天花板冥思：

难道我的一生就这样了吗？

我可是年轻有为好青年。

对，我要用数改变世界、用数解释世界。

‘万物皆数（整数和分数），数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。’

有一次在毕达哥拉斯给弟子们上课的时候，又提出了这个观点。

一个叫作希帕索斯的愣头青小伙子向老师提出了一个惊人的问题：

‘若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数’。

这一发现使得毕氏学派万分惶恐，

认为这将大大动摇他们的学术统治地位，下令立马封锁消息。

毕达哥拉斯的一众子弟更是不干了，

就好像现在的脑残粉见到自己偶像被骂了一样。

一个个磨刀霍霍，誓要把他置于死地。

这还得了，希帕索斯你这是掘我毕氏学派的坟墓呀，

是可忍孰不可忍。

希帕索斯一看形势不妙，

三十六计走为上，

为了逃命，被迫流亡海外。

不幸的是，在船上遇见了毕氏学派的学生，

最终被投入大海，葬身鱼腹。

希帕索斯 -----发现无理数第一人

科学的发展从来不是风平浪静、一帆风顺的。

历史注定要在曲折中前进，

但真理永远不会被掩盖，

即使黑夜来临，也终将迎来光明。

后来的数学家为解决这个问题前赴后继，

最终将实数理论建立在严格的科学基础上，

正式结束了无理数被认为“无理”的时代，

无理数也正式获得了人们的认可。

科学万岁，真理万岁。

不仅仅革命是要流血牺牲的，

科学也如此，

布鲁诺坚持日心说、希帕索斯坚持无理数的存在，

每一次进步都是血淋淋的。

今天我们知道了无理数是存在的，

但是当时的巨大阻力谁能感受到？

像√2这种不能表示成分数的数，我们就称之为无理数。

有理数、无理数的名称让人费解，

听起来好像有理数更有道理，

无理数胡搅蛮缠一样。

实际上这只是翻译上的失误，

也因为这个翻译无理数背负了一辈子的‘骂名’。

可见翻译是多么重要。

西方称有理数为'rational number',

rational 的意思为合理的、理性的，

中国人在翻译的时候不加思考，偷懒了一下，就直接翻译成了‘有理数’。

与之相对应的就叫做了‘无理数’。

事实上rational的词根为ratio,是比例的意思，

西方人的本意是：

有理数是那些可以表示成整数的比的数，

无理数是不能表示成整数的比的数。

在此需要为无理数再次正名，

无理数真的不是没有道理。

也有另一种说法认为：

毕氏学派掩盖真理、陷害忠良，天理难容，

这是真正的‘无理’。

为纪念为真理献身的希伯索斯，

所以命名为‘无理数’。

最终我们将由有理数和无理数统称为实数。

实数的分类咱们用一张图来表示，一目了然：

我是数学老师楠哥，喜欢我的文章欢迎转发、关注，会经常与大家分享有趣的数学知识。

第3节——有理数定义

上两节，我们学过三种数:正数，负数，和0。

尤其学过了负数之后，我们就把小学的数扩大了近一倍，其中，正整数，分数，就有了负整数和负分数。举例说明如下:​我们把如上五类数加以组合:​

正整数，0，负整数，合称为整数；

正分数，负分数，合称为分数。

同样的，

正整数和正分数合称为正数；

负整数和负分数合称为负数。

正数，负数和0，合称为有理数。

这种合称式儿下定义的方式，也是数学概念的一种常见的定义方式。​这种学完定义后，直接对号入座的题目，对定义的快速理解，是很有好处的。​​

那个椭圆形圈圈，相当于定义所属的数集。如果我们把圈圈的位置，进行微调下面这样，

其中A表示整数，B表示负数，或者A表示正数，B表示分数，还是同样的一列数，我们又该如何填充，尤其是最中间部分，应该如何填充呢？

通过上两讲和本讲，我们可以对所学过的概念，进行如下总结了。​​

趣味数学：无理数｜“点滴”专栏

撰文 | 夏志宏

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公元1610年，天文学家伽利略发现了太阳黑子，这在欧洲引起了极度恐慌。从亚里士多德以来，人们一直认为太阳是完美无缺的。太阳黑子的存在破坏了这些根深蒂固的文化理念。太阳有缺陷这个事实也与当时的宗教教义所相悖。

同样，人们一直认为数字是完美无缺的，无理数的发现使一群数学迷们异常惊恐。为了防止世人窥视到上帝的缺陷，发现者被绑上石头，沉入海底。

公元前第五世纪，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派倒霉的希勃索斯（Hippasus）发现了一个惊人事实，一个边长为一的正方形的对角线长度不是有理数。无理数的存在说明了数轴上存在不能用有理数表示的“空隙”，和毕达哥拉斯学派的“万物皆为数（有理数）”的哲理大相径庭。学派领袖惶恐、愤怒以后，可怜的希勃索斯被百般折磨，判了极刑。从此毕达哥拉斯学派把守住这一秘密当成学派的头等大事。

在人类科学史上，以“主义”、“思想”等教条来“指导”、“武装”科学研究时，其结果往往是悲剧。

根据勾股定理（在西方叫毕达哥拉斯定理），边长为一的正方形的对角线长度为

，也就是说，希勃索斯是第一个发现

是无理数的人。

根据古希腊哲学家柏拉图《对话录》记载，数学家Theodorus of Cyrene发现了从2到17整数中，除了4，9，16这几个完全平方数而外，所有的平方根都是无理数。柏拉图没有解释Theodorus为何停在17。事实上，可以证明任何正整数的平方根如果不是恰好是整数的话，那一定是无理数。

无理数的发现经常被称为数学史上的第一次危机，其影响是深远的。有理与无理的对立不仅有抽象的哲学意义，也有广泛的应用意义。

两个实数的比例如果是有理数，我们称这两个实数有理相关。在力学上，震动频率的有理相关会引起共振，而共振会带来系统的不稳定。举个小例子，如果人在木桥上走动的频率与木桥晃动的固有频率有理相关，就会引起危险的共振现象。

再举个例子，太阳系在火星和木星之间有众多的小行星，形成一个小行星带。已发现并确认的就有几十万颗。这些小行星在太空中的分布和它们的轨道稳定性有密切关系。如果小行星绕太阳的运动周期和木星的周期比例是有理数，这就形成共振，它们之间的相互影响就会很大，这些影响往往会导致小行星轨道的不稳定。因此，在这些轨道上小行星的数目就会很少。小行星分布的著名Kirkwood空隙就是在这些共振区域。比较大的空隙是3:1、5:2、7:3和2:1等共振区域。

在音乐上，频率共振会带来和谐和美感，但无理数的出现却带来了一些尴尬及无奈。基音——比如C音，频率为261Hz——确定以后，高八度就是C的频率的两倍522Hz。从C到高音C之间，如何确定其它音阶的频率是一个非常有趣的问题。

两个共振频率放在一起会令人听起来爽心悦耳，3/2是仅次于2/1共振的最为简单和纯粹的共振。按照毕达哥拉斯创建的“五度相生律”，如果基音是C，纯五度则定为C频的3/2倍；纯四度定为C频降3/2后再乘以2，也就是C的4/3；纯二度定为3/2平方除以2；纯六度为3/2的立方除以2。八度的其它音级的频率都是以类似的五度相生而产生。

由“五度相生律”所产生的八度可分为十二个音程，音程之间距离并不相等。现代音乐为了便于基音的改变和转调，不得不把八度平均分成十二个半音音程，使得各相邻两音之间的频率之比完全相等，如此得到的即是所谓的“十二平均律”。十二平均律基音改变以后音阶的比例也会完全一致。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用，现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的。

但非常遗憾的是，十二平均律半音的频率比为2的1/12次方，是一个无理数。而且每两个音的频率比，除了高八度外，都是无理数。比如，纯五度音程的两个音的频率比为2 的7/12 次方，是个无理数，大约等于1.4983，和自然泛音序列的1.5有些差别。同样，其它和弦音符都跟“五度相生律”序列中的几个音符不一样。所幸的是，纯五度、纯四度、大三度等在十二平均律中和3/2，4/3，5/4非常接近，常人听不出什么区别。正因为如此，小号等靠自然泛音序列定音的按键吹奏乐器得以在交响乐队演奏，而没有明显的违和感。

最后，关于无理数的性质有很多有趣的数学问题。比如，黄金分割是所有无理数中最“无理”的无理数。有意思的是，无理数不仅存在，而且事实上比有理数多得多。

——2018.7. 深圳

我们用反证法。假定

是有理数，也就是说

这里p和q都是正整数，我们可以假定p和q互为素数，也就是说p和q没有公因子。等式两边平方以后，得到

也就是说

因此p必须是偶数，也就是说p=2k，k为一正整数。我们因此得到

或者

因此，q也必须是偶数。P和q都是偶数，与p和q互素的假定矛盾。

证毕。

制版编辑 | 斯嘉丽

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有理数几个概念（正数和负数，有理数，数轴，相反数，绝对值）

正数和负数

⒈正数和负数的概念

负数：比0小的数

正数：比0大的数

0既不是正数，也不是负数

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）

②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：

零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃

3.0表示的意义

⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

有理数

有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

有理数的分类

⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分

正整数 正整数

整数 0 正有理数

负整数 正分数

有理数 有理数 0 （0不能忽视）

正分数 负整数

分数 负有理数

负分数 负分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。

说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）

当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。