根号5是无理数吗(三次根号5是无理数吗)

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

根号5是无理数吗

根号5是无理数。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，无理数的特征是无限的连分数表达式，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

证明过程

1.设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。

2.两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。

3.p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。

4.这样p,q有公因数5，这与假设p,q最大公约数为1矛盾。

5.根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，

所以，根号下5不是有理数而是无理数。

在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记。下面就实际为大家举例说明：

例：估算√3的取值范围。

解：因为1＜3＜4，所以√1＜√3＜√4即：1＜√3＜2如果想估算的更精确一些，

比如说想精确到0.1．可以这样考虑：因为17的平方是289，18的平方是324，所以1.7的平方是2.89，1.8的平方是3.24．

因为2.89＜3＜3.24，

所以√2.89＜√3＜√3.24 ，所以1.7＜√3＜1.8。

如果需要估算的数比较大，可以找几个比较接近的数值验证一下。

下面为大家介绍比较无理数大小的几种方法：

比较无理数大小的方法很多，在解题时，要根据所给无理数的特点，选择合适的比较方法。

一、直接法

直接利用数的大小来进行比较。

①、同是正数:

例: √3与3的比较

根据无理数和有理数的联系，被开数大的那个就大。

因为3= √9> √3

,所以3>√3

②、 同是负数:

根据无理数和有理数的联系，及同是负数绝对值大的反而小。

③、 一正一负:

正数大于一切负数。

二、隐含条件法:

根据二次根式定义，挖掘隐含条件。

例:比较³√1-a与√a-2的大小。

因为√a-2成立

所以a-2≧0即a≧2

所以1-a≦-1

所以√a-2≧0，³√1-a≦-1

所以√a-2>³√1-a

三、同次根式下比较被开方数法:

例:比较4√5与5√4大小

因为4√5=√16*5=√80

5√4=√25*4=√100

所以√80＜√100 ,即4√5＜5√4

四、作差法:

若a-b>0,则a>b

例：比较3-√6与√6-2的大小

因为3-√6-（√6-2）=3-√6-√6+2=5-2√6=√25-√24

所以：5-2√6>0

即3-√6>√6-2

五、作商法:

a>0,b>0,若a/b>1,则a>b

例：比较(√a+1)/(√a+2)与(√a+2)/(√a+3)的大小

因为{(√a+1)/(√a+2)}/{(√a+2)/(√a+3))}={(√a+1)/(√a+2)}*{(√a+3)/(√a+2)}

={a+4√a+3}/{a+4√a+4}<1

所以：(√a+1)/(√a+2)<(√a+2)/(√a+3)

六、找中间量法

要证明a>b,可找中间量c，转证a>c,c>b

例:比较(√10+3)/(√10+2)与(2√5+2)/(2√5+3)的大小

因为(√10+3)/(√10+2)>1,1>(2√5+2)/(2√5+3)

所以(√10+3)/(√10+2)>(2√5+2)/(2√5+3)

七、平方法:

a>0,b>0,若a2>b2,则a>b。

例:比较(√5+√11)与(√6+√10)的大小

(√5+√11)2=5+2√55+11=16+2√55

(√6+√10)2=6+2√60+10=16+2√60

所以:(√5+√11)<(√6+√10)

八、倒数法:

九、有理化法:

可分母有理化，也可分子有理化。

十、放缩法:

常用无理数口诀记忆：

√2≈1.41421：意思意思而已

√3≈1.7320：一起生鹅蛋

√5≈2.2360679：两鹅生六蛋(送)六妻舅

√7≈2.6457513：二妞是我，气我一生

√8=2√2≈2.82842啊，不啊不是啊

e≈2.718:粮店吃一把

π≈3.14159，26535，897，932，384，262：

山巅一寺一壶酒,尔乐苦杀吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，尔乐尔

上面就是为大家介绍的无理数的大小比较的技巧以及方法，希望大家能够仔细学习，并掌握这些方法，掌握这些方法对大家在以后无理数大小比较这块不会在感到困难，希望大家学习愉快。