线垂(线垂直于面的判定)

高中数学：几种必须掌握的线面垂直的证明方法

证明线面垂直的方法一般有很多种，其中利用定义，判定定理和面面垂直的性质是最基本也是很重要的的方法，但是，有时这几种方法都不管用或者证明起来很困难，这时如果建立空间坐标系，使用空间向量法，说不定就会柳暗花明又一村。

（1）利用定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。

符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a=>l⊥α

（2）利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>β∥α

（3）利用面面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。

（4）空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量平行，就可以说明该直线与平面垂直。

用空间向量法证明线面垂直的方法和步骤为：

①建立空间直角坐标系

②将相关直线的方向向量用坐标表示

③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；或求出平面的法向量

④分别计算所求直线与以上两相交直线向量的数量积，数量积都为0；或判断直线的方向向量与平面的法向量平行。

另外，还有：

（5）两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直；

（6）一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

利用判定定理、面面垂直的性质

例1、（2019秋•赣州期末）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E为AD的中点，如图1，将△ABE沿BE折起，使得点A到达点P的位置（如图2），且平面PBE⊥平面BCDE

（1）证明：PB⊥平面PEC；

（2）若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M﹣CDN的体积．

空间向量法：

例2、如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证：AB1⊥A1BD。

当然我们也可以找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量，分别计算所求直线与这两条两相交直线向量的数量积，若数量积都为0，则说明线面垂直，各位同学可以自己亲手证明一下。

几何尺寸和公差基础

几何尺寸和公差（Geometric Dimensioning and Tolerancing，GD&T），包括尺寸公差和几何公差。通过几何公差的图纸标注，可以有效且精确地表达产品的功能， 同时尽量地放大制造公差，降低产品的成本，提高产品的合格率。GD&T 几何公差功能 标注示例如图 1‑1 所示，设计工程师通过 GD&T中的相关原则、符号、基准和各种公差，精确地在图纸上表达产品的功能。制造工艺工程师通过 GD&T图纸能够很好地理解产品 的功能要求，并加工出合格的产品。质量工程师根据 GD&T图纸对产品的要求，对实际 产品进行尺寸公差检测，有效地判定哪些产品是合格的。GD&T 标注的图纸可以统一不同部门的工程师及供应商对图纸的理解，图纸解释是唯一的，不会引起歧义，GD&T 是工程师们的共同图纸语言。

图 ‑1 GD&T几何公差功能标注示例

1. 表面要素（Feature）

表面要素是指零件的实际物理表面，如销、孔、槽的表面。也就是说，能够用手指感知并能留下指纹的表面就叫作表面要素。表面要素标注示例如图 1‑2 所示，图有7个表面要素。

2. 对立（Opposed）

图 ‑2 表面要素标注示例

对立标注示例如图 1‑3所示，在图 1-3（a）中，A和B是完全对立的两个相互平行的表面，因为在A平面上的任意一点，在B平面上都能够找到对立的另一个点。在图1-3（b）中，A和B是部分对立的两个相互平行的表面，因为A平面上的点只有一部分能够在B平面上找到对立的点。在图1-3（c）中，A和B是非对立的两个相互平行表面，因为两个平面找不到对立的点。

图 ‑3 对立标注示例

3.尺寸要素（FeatureofSize）

尺寸要素包括两种：规则尺寸要素和非规则尺寸要素。

1）规则尺寸要素（RegularFeatureofSize）

规则尺寸要素包括：一个圆柱面、球面或圆元素，或者一对具有对立（或部分对立）

的相互平行的线元素或表面要素，并且能通过标注尺寸公差来管控。

规则尺寸要素要满足下面4个条件。

（1）包含对立的（至少部分对立）的表面或线元素。

（2）能够导出一个中心要素，如中心点、中心线或中心面。

（3）可以标注尺寸公差管控。

（4）形状可以是一个圆柱、球、圆或相互平行的直线和平面。

根据尺寸要素的规则可知，在图1-3（a）、（b）中，平面A和B是规则尺寸要素，在图1-3（c）中，平面A和B不是规则尺寸要素，因为它们没有对立的元素。

2）非规则尺寸要素（IrregularFeatureofSize）

非规则尺寸要素标注示例如图1‑4所示，非规则尺寸要素包括两种类型：

（1）由一个或一组要素组成，它们具有一个球面、圆柱面或两个相互平行平面的非关联实际包容配合面。

（2）由一个或一组要素组成，它们具有非球面、圆柱面或两个相互平行平面的非关联实际包容配合面。

非规则尺寸要素不需要具有相对立的表面或线元素，也不需要直接用尺寸公差管控，但必须能够建立非关联实际包容配合面。

区分规则、非规则尺寸要素对图纸标注理解正确与否很重要，因为Rule#1（包容原则）只能应用在规则尺寸要素上。

规则尺寸要素具有两个或多个对立的点，并且具有实际局部尺寸，可以用尺寸公差管控它们的大小和形状误差。

非规则尺寸要素不需要对立的点，它的非关联实际包容配合面也可以不是圆柱面、球面或相互平行直线或平面。

图 ‑4 非规则尺寸要素标注示例

4.实际局部尺寸（ActualLocalSize）

实际局部尺寸标注示例如图1‑5所示，实际局部尺寸是指规则尺寸要素任意一个横截面两点之间的尺寸大小。实际局部尺寸的测量工具常常是千分尺或游标卡尺。

5.实际包容配合面（ActualMatingEnvelope）

实际包容配合面是指在实际零件材料外面，与外部尺寸要素接触的最小尺寸的理想包容配合面，即最小外接包容配合面；或者与内部尺寸要素接触的最大尺寸的理想包容配合面，即最大内切包容配合面。实际包容配合面包括两种：非关联实际包容配合面和关联实际包容配合面。

图 ‑5 实际局部尺寸标注示例

实际包容配合面标注示例如图1‑6所示，实际包容配合面是与尺寸要素最高点接触且在材料外面的一个理想包容配合面，实际包容配合面是一个变化的尺寸，取决于实际零件的尺寸和形状，并且总是在材料的外面。

图 ‑6实际包容配合面标注示例

对于外部尺寸要素，如圆柱，实际包容配合面就是在材料外面与实际零件最高点接触的一个最小包容面，即最小外接包容圆柱面。

对于内部尺寸要素，如圆孔，实际包容配合面就是在材料外面与实际零件最高点接触的一个最大包容面，即最大内切包容圆柱面。

6.非关联实际包容配合面（UnrelatedActualMatingEnvelope）

非关联实际包容配合面是指与内部尺寸要素或外部尺寸要素材料外面最高点接触的一个理想包容配合面，它不与任何基准相关联，即不受任何基准约束。非关联实际包容配合面标注示例如图1‑7所示，包容配合面不需要和图纸中的基准保持理想的方向和位置关系，图中圆柱的实际包容配合面即最小外接圆柱面不需要和基准A垂直。

图 ‑7 非关联实际包容配合面标注示例

7.关联实际包容配合面（RelatedActualMatingEnvelope）

关联实际包容配合面是指与内部尺寸要素或外部尺寸要素材料外面最高点接触的一个理想包容配合面，且与基准相关联，基准按照理想状态约束其方向和位置。关联实际包容配合面标注示例如图1‑8所示，包容配合面与基准保持理想的位置和方向要求，图中圆柱的实际包容配合面即最小外接圆柱面要和基准A垂直。

图 ‑8 关联实际包容配合面标注示例

8.轴线（Axis）

轴线是理想的直线，一般是圆柱尺寸要素的非关联实际包容配合面的轴线。轴线和中心线标注示例如图1‑9所示，对于外部尺寸要素（如圆柱），轴线就是实际圆柱的非关联实际包容配合面，即最小外接包容圆柱面的轴线。对于内部尺寸要素（如圆孔），轴线就是实际圆孔的非关联实际包容配合面，即最大内切包容圆柱面的轴线。

9.中心线（MedianLine）

中心线是由所有垂直于尺寸要素非关联实际包容配合面轴线的横截面中心点构造成非理想的线，中心线可以是曲线，如图1‑9所示。

图 ‑9 轴线和中心线标注示例

10.中心平面（CenterPlane）

中心平面标注示例如图1‑10所示，中心平面是理想的平面，一般是指尺寸要素非关联实际包容配合面的中心平面。

图 ‑10 中心平面标注示例

11.中心面（MedianPlane）

中心面是由所有垂直于尺寸要素非关联实际包容配合面的中心平面的横截面中心点构造的非理想面，中心面可以是曲面。中心面标注示例如图1‑11所示。

图 ‑11 中心面标注示例

12.最大实体状态（MaximumMaterialCondition，MMC）

尺寸要素在尺寸公差极限范围内，具有材料最多的状态就是最大实体状态，对于外部尺寸要素（如轴），最大实体状态就是轴的尺寸最大时的状态，对于内部尺寸要素（如孔），最大实体状态就是孔的尺寸最小时的状态。最大实体状态标注示例如图1‑12所示，轴的直径等于最大值12.3时是轴的最大实体状态，孔的直径等于最小值11.7时是孔的最大实体状态。

图 ‑12最大实体状态标注示例

13.最小实体状态（LeastMaterialCondition，LMC）

尺寸要素在尺寸公差极限范围内，具有材料最少的状态就是最小实体状态，对于外部尺寸要素（如轴），最小实体状态就是轴的尺寸最小时的状态，对于内部尺寸要素（如孔），最小实体状态就是孔的尺寸最大时的状态。最小实体状态标注示例如图1‑13所示，轴的直径等于最小值11.7时是轴的最小实体状态，孔的直径等于最大值12.3时是孔的最小实体状态。

图 ‑13最小实体状态标注示例

14.与要素尺寸无关（RegardlessofFeatureSize，RFS）

标注的几何公差与要素尺寸的大小无关，无论实际零件的尺寸是多大，允许的几何公差值始终保持图纸标注的值固定不变。与要素尺寸无关（RFS）标注示例如图1‑14所示。

图 ‑14与要素尺寸无关标注示例

15.公差补偿（BonusTolerance）

公差补偿是相对于图纸标注的几何公差的额外公差，当尺寸要素标注的几何公差应用最大实体或最小实体要求时，公差补偿就可以产生。

当几何公差使用最大实体即修饰符号时，图纸表示被管控的尺寸要素在最大实体尺寸时，允许的几何公差等于图纸标注的公差值，没有公差补偿。当被管控尺寸要素的非关联实际包容配合面尺寸偏离最大实体尺寸时，几何公差是可以得到补偿的，补偿值就等于非关联实际包容配合面尺寸与最大实体尺寸的差值。最大实体要求的公差补偿标注示例如图1‑15所示。当非关联实际包容配合面尺寸等于最大实体尺寸10.2时，公差补偿值为0；当非关联实际包容配合面尺寸等于10.1，与最大实体尺寸10.2比较，偏离了（少了）0.1，公差补偿值为0.1，公差补偿值加上基本公差值就等于总体平面度公差允许值。当非关联实际包容配合面尺寸等于最小实体尺寸9.8时，公差补偿值为0.4。

图 ‑15最大实体要求的公差补偿标注示例

当几何公差使用最小实体即修饰符号时，图纸表示被管控的尺寸要素在最小实体尺寸时，允许的几何公差是图纸标注的公差值，没有公差补偿。当被管控尺寸要素的非关联实际包容配合面尺寸偏离最小实体尺寸时，几何公差是可以得到补偿的，补偿值就等于非关联实际包容配合面尺寸与最小实体尺寸的差值，最小实体要求的公差补偿标注示例如图1‑16所示。当非关联实际包容配合面尺寸等于最小实体尺寸9.8时，公差补偿值为0；当非关联实际包容配合面尺寸等于9.9时，与最小实体尺寸9.8比较，偏离了（多了）0.1，公差补偿值为0.1，公差补偿值加上基本公差值就等于总体平面度公差允许值。当非关联实际包容配合面尺寸等于最大实体尺寸10.2时，公差补偿值为0.4。

公差补偿对于零件图纸设计非常重要，设计者合理使用公差补偿可以在保证功能的前提下，放大制造公差，提高产品合格率，最大限度地降低产品成本。

图 ‑16最小实体要求的公差补偿标注示例

16.内边界（InnerBoundary）

内边界是尺寸要素最差的边界。对于内部尺寸要素，如孔，其内边界的大小等于孔的最大实体尺寸（即最小极限尺寸）减去对应的几何公差值。对于外部尺寸要素，如轴，其内边界大小等于轴的最小实体尺寸（即最小极限尺寸）减去对应的几何公差值。内边界解释标注示例如图1‑17所示，孔的直径尺寸是8±0.2，垂直度公差是0.2。其孔的内边界大小等于孔的最大实体尺寸7.8减去0.2的垂直度公差，内边界大小等于7.6。内边界概念常用于内部尺寸要素，如孔。这是因为内边界决定了内部尺寸要素的装配边界。

图 ‑17内边界解释标注示例

17.外边界（OuterBoundary）

外边界是尺寸要素最差的边界。对于内部尺寸要素，如孔，其外边界大小等于最小实体尺寸（即最大极限尺寸）加上对应的几何公差值。对于外部尺寸要素，如轴，其外边界大小等于最大实体尺寸（即最大极限尺寸）加上对应的几何公差值。

外边界解释标注示例如图1‑18所示，轴的直径尺寸是8±0.2，垂直度公差是0.2。其轴的外边界大小等于轴的最大实体尺寸8.2加上0.2的垂直度公差值，其外边界大小等于8.4。外边界多用于轴类等外部尺寸要素，因为外边界决定外部尺寸要素装配边界。

图 ‑18外边界解释标注示例

18.实效状态（VirtualCondition）

实效状态是一个固定的边界，它是由尺寸要素所标注的最大实体或最小实体要求，以及在这个实体要求下的几何公差共同形成的一个固定尺寸边界。实效状态对应的固定尺寸的边界简称实效边界。

对于外部尺寸要素，如轴，标注的几何公差采用最大实体要求时，其实效状态是一个固定尺寸的最差边界，边界的大小是由轴的最大实体尺寸（即最大极限尺寸）加上相应的几何公差。此时轴的实效边界等于轴的外边界大小。

对于外部尺寸要素，如轴，标注的几何公差采用最小实体要求时，其实效状态是一个固定尺寸的最差边界，边界的大小是由轴的最小实体尺寸（即最小极限尺寸）减去相应的几何公差。此时轴的实效边界等于轴的内边界大小。

对于内部尺寸要素，如孔，标注的几何公差采用最大实体要求时，其实效状态是一个固定尺寸最差的边界，边界的大小等于孔的最大实体尺寸（即最小极限尺寸）减去相应的几何公差。此时孔的实效边界等于孔的内边界大小。

对于内部尺寸要素，如孔，标注的几何公差采用最小实体要求时，其实效状态是一个固定尺寸的最差边界，边界的大小是由孔的最小实体尺寸（即最大极限尺寸）加上相应的几何公差。此时孔的实效边界等于孔的外边界大小。

实效边界通常是指验证几何公差时，产品可以接受的边界，可以用来保证产品装配和其他功能。几何公差标注采用最大实体要求，通过实效边界可以计算出功能检具的尺寸，如检测孔的位置度，算出实效边界，从而可以计算出检测位置度销子的尺寸大小。

另外，只有尺寸要素的几何公差在采用最大实体或最小实体要求时，才有固定尺寸的实效边界。

19.实效状态、内边界、外边界之间的关系

尺寸要素的内边界和外边界是由其非关联实际包容配合面尺寸和相对应的几何公差共同形成的一个边界，它的尺寸大小不一定是一个固定值，这与它的几何公差使用的公差要求有关系，如最大实体要求、最小实体要求、与要素尺寸无关原则。内部尺寸要素孔的几何公差使用的最大实体要求，即公差框格的公差值后面加了修饰符号，那么孔的内边界就是一个固定值。外部尺寸要素轴的几何公差使用的最大实体要求，即公差框格的公差值后面加了修饰符号，那么轴的外边界就是一个固定值。如果几何公差采用与要素尺寸无关原则，孔和轴都没有一个固定的内边界或外边界。

实效状态是一个固定尺寸的边界，当几何公差采用最大实体要求和最小实体要求时，实效状态边界等于尺寸要素的内边界，或者等于尺寸要素的外边界。如果几何公差采用与要素尺寸无关原则，因为尺寸要素没有固定尺寸的内边界和外边界，所以没有实效状态。

内部尺寸要素采用最大实体要求时的实效边界标注示例如图1‑19所示。由图1‑19可知，直径尺寸为20的孔的位置度0.1采用的是最大实体要求修饰符号，即位置度公差0.1后面加了，由公差补偿可知，孔允许的位置度公差是随着孔的非关联实际包容配合面尺寸变化而变化的。当孔的非关联实际包容配合面尺寸等于最大实体尺寸（即最小极限尺寸）时，孔允许的位置度公差是0.1。当孔的非关联实际包容配合面尺寸大于最大实体尺寸时，孔允许的位置度公差就补偿放大，补偿值等于孔的非关联实际包容配合面尺寸与最大实体尺寸的差值，具体关系参见图1‑19中左下角的表格。再由内、外边界的定义可知，孔的内边界直径尺寸是19.7，外边界直径尺寸是20.7。孔的位置度采用了最大实体要求，其内边界是一个固定值，每个孔的非关联实际包容配合面尺寸减去对应的位置度公差值结果一样。由实效状态定义可知，孔的实效状态边界大小等于孔的内边界大小。

图 ‑19 内部尺寸要素采用最大实体要求时的实效边界标注示例

内部尺寸要素采用最小实体要求时的实效边界标注示例如图1‑20。所示。由图1‑20。可知，直径尺寸为20的孔的位置度0.1采用的是最小实体要求，即位置度公差0.1后面加了修饰符号，由公差补偿可知，孔允许的位置度公差是随着孔的非关联实际包容配合面尺寸变化而变化的。当孔的非关联实际包容配合面尺寸等于最小实体尺寸（即最大极限尺寸）时，孔允许的位置度公差是0.1。当孔的非关联实际包容配合面尺寸小于最大极限尺寸时，孔允许的位置度公差就要补偿放大，补偿值等于孔的非关联实际包容配合面尺寸与最小实体尺寸的差值，具体关系参见图1‑20。中左下角的表格。再由内、外边界的定义可知，孔的内边界直径尺寸是19.3，外边界直径尺寸是20.3。孔的位置度采用了最小实体要求，其外边界是一个固定值，每个孔的非关联实际包容配合面尺寸加上对应的位置度公差值结果一样。由实效状态定义可知，孔的实效状态边界大小等于孔的外边界大小。

图 ‑20内部尺寸要素采用最小实体要求时的实效边界标注示例

内部尺寸要素采用与要素尺寸无关原则时的实效状态标注示例如图1‑21。所示。由图1‑21。可知，直径尺寸为20的孔的位置度0.1采用的是与要素尺寸无关原则，即位置度公差0.1后面没有和修饰符号。孔允许的位置度公差值是一个固定值0.1，没有公差补偿，不会随着孔的非关联实际包容配合面尺寸变化而改变。具体关系参见图1‑21。中左下角的表格。再由内、外边界的定义可知，孔的内边界直径尺寸是19.7，外边界直径尺寸是20.3。每个孔的直径尺寸不一样，但允许的位置度公差值固定不变，所以没有一个固定尺寸的内边界和外边界，由实效状态定义可知，与要素尺寸无关原则下孔没有实效状态。

外部尺寸要素采用最大实体要求时的实效边界标注示例如图1‑22。所示。由图1‑22可知，直径尺寸为20的轴的位置度0.1采用的是最大实体要求，即位置度公差0.1后面加了修饰符号，由公差补偿可知，轴允许的位置度公差是随着轴的非关联实际包容配合面尺寸变化而变化的。当轴的非关联实际包容配合面尺寸等于最大实体尺寸（即最大极限尺寸）时，轴允许的位置度公差是0.1。当轴的非关联实际包容配合面尺寸小于最大实体尺寸时，轴允许的位置度公差就要补偿放大，补偿值等于轴的非关联实际包容配合面尺寸与最大实体尺寸的差值，具体关系参见图1‑22中左下角的表格，再由内、外边界的定义可知，轴的内边界直径尺寸是19.3，外边界直径尺寸是20.3。轴的位置度采用了最大实体要求，其外边界是一个固定值，每个轴的非关联实际包容配合面尺寸加上对应的位置度公差值结果一样。由实效状态定义可知，轴的实效状态边界大小等于轴的外边界大小。

图 ‑22外部尺寸要素采用最大实体要求时的实效边界标注示例

图 ‑21内部尺寸要素采用与要素尺寸无关原则时的实效状态标注示例

外部尺寸要素采用最小实体要求时的实效边界标注示例如图1‑23。所示。由图1‑23。可知，直径尺寸为20的轴的位置度0.1采用的是最小实体要求，即位置度公差0.1后面加了修饰符号，由公差补偿可知，轴允许的位置度公差是随着轴非关联实际包容配合面尺寸变化而变化的。当轴的非关联实际包容配合面尺寸等于最小实体尺寸（即最小极限尺寸）时，轴允许的位置度公差是0.1。当轴的非关联实际包容配合面尺寸大于最小极限尺寸时，轴允许的位置度公差就要补偿放大，补偿值等于轴的非关联实际包容配合面尺寸与最小实体尺寸的差值，具体关系参见图1‑23。中左下角的表格，再由内、外边界的定义可知，轴的内边界直径尺寸是19.7，外边界直径尺寸是20.7。轴的位置度采用了最小实体要求，其内边界是一个固定值，每个轴的非关联实际包容配合面尺寸减去对应的位置度公差值结果一样。由实效状态定义可知，轴的实效边界大小等于轴的内边界大小。

图 ‑23外部尺寸要素采用最小实体要求时的实效边界标注示例

外部尺寸要素采用与要素尺寸无关原则时的实效边界标注示例如图1‑24。所示。由图1‑24。可知，直径尺寸为20的轴的位置度0.1采用的是与要素尺寸无关原则，即位置度公差0.1后面没有和修饰符号。轴允许的位置度公差值是一个固定值0.1，没有公差补偿，不会随着轴的非关联实际包容配合面尺寸变化而改变，具体关系参见图1‑24。中左下角的表格。再由内、外边界的定义可知，轴的内边界直径尺寸是19.7，外边界直径尺寸是20.3。每个轴的直径尺寸不一样，但允许的位置度公差值固定不变，所以没有一个固定尺寸的内边界和外边界，由实效状态定义可知，与要素尺寸无关原则下轴没有实效状态。

20.成组（Pattern）

位置度和轮廓度公差应用在两个或多个要素和尺寸要素，用下列标注方式可以把它们当作成组考虑。

（1）n×——n个要素。

（2）nCOAXIALHOLES——n个同轴孔。

（3）ALLOVER——全表面。

（4）ALLAROUND——全周。

（5）A←→B（BetweenAandB）——A和B之间。

（6）A→B（FromAtoB）——从A到B。

（7）nSurface——n个表面。

（8）Simultaneousrequirement——同时要求。

图 ‑24外部尺寸要素采用与要素尺寸无关原则时的实效边界标注示例

21.理论尺寸（BasicDimension）

理论尺寸即理想状态下的尺寸，一般指的是三维模型上的尺寸，在图纸上把尺寸标注在方框里面。理论尺寸标注示例如图1‑25所示。

图 ‑25 理论尺寸标注示例

22.理论位置（TruePosition）

理论位置是由图纸中的理论尺寸确定的，一般指的是三维模型上的位置。理论位置标注示例如图1‑26所示，在图1‑26中，通过两个理论尺寸20就确定了孔相对基准的理论位置。

23.连续要素（ContinuousFeature）

图 ‑26理论位置标注示例

两个或多个断开的要素，标注了“CF”符号，表示把它们当作单个连续要素。连续要素标注示例如图1‑27所示，图中CF表示3个断开的平面当作一个连续平面要素，在0.1的平面度公差带里。

图 ‑27连续要素标注示例

24.连续尺寸要素（ContinuousFeatureofSize）

连续尺寸要素是指两个或多个规则的尺寸要素，或者一个被断开了的规则尺寸要素标注了“CF”符号，表示把它们当作单个规则的尺寸要素。连续尺寸要素标注示例如图1‑28所示，图中CF表示直径为22.1～22.2之间的轴，当作单个连续的轴管控。

图 ‑28连续尺寸要素标注示例

“橡皮泥”也能导电？新材料可在室温下制造 或成就新一代电子设备

财联社上海10月27日讯（编辑 黄君芝）近期，美国芝加哥大学的科学家们研发了一种像“橡皮泥”一样的新材料。据称，这种材料可塑性强且可在室温下制造，但导电性却堪比金属，可能会帮助塑造新一代电子设备。

在这个电子设备成为日常生活“必需品”的时代，导电材料是不可或缺的。迄今为止，最古老和最大的一组导体是金属：铜、金、铝等。科学家们发现，这些导电材料往往有些共同之处：它们由排列整齐的原子或分子组成，排列紧密，这被认为是允许电子在材料中的关键。

事实上，科学界也一直在探索其他可能性。在上述新研究中，芝加哥大学的研究人员用由碳、硫和镍原子组成的分子串材料进行实验，并产生了一些意想不到的结果。令该团队惊讶的是，这种材料竟然是一种非常高效的导体，并且能够在一系列恶劣的条件下保持其性能。

“我们把它加热、冷却、暴露在空气和潮湿环境中，甚至在上面滴酸碱，什么都没有发生。这对于必须在现实世界中运行的设备非常有帮助。”研究人员说道。

但对科学家来说，最引人注目的是材料的分子结构是无序的。他们说，“从基本面来看，这不应该是一种金属。没有可靠的理论来解释这一点。”这项研究成果已于近期发表在了《自然》杂志上。

据悉，研究人员与大学周围的其他科学家展开了合作，试图了解这种材料是如何导电的。经过测试、模拟和理论研究，他们认为这种材料形成了薄层，就像烤宽面条中的薄片一样。即使薄片横向旋转，不再形成整齐的千层面堆叠，电子仍然可以水平或垂直移动。

研究人员们指出，这种导电材料既柔韧又导电，这是前所未有的。他们说，“它几乎就像导电的橡皮泥——你可以将它涂抹在适当的位置，它就会导电。”

“从原则上讲，这开启了一种全新材料的设计，这种材料可以导电，易于成型，在日常条件下也非常坚固。”他们补充道。

此外，这种新材料还有一个优点，即它可以在室温下制造。众所周知，金属通常必须熔化才能制成适合芯片或设备的形状，这限制了您可以用它们制造的东西，因为设备的其他组件必须能够承受加工所需的热量。该团队希望通过试验不同的形式和功能来进一步扩展功能。

“我们认为我们可以把它做成2D或3D，让它变得多孔，甚至可以通过添加不同的链接或节点来引入其他功能。”他们说。

形位公差——轮廓度（线轮廓度、面轮廓度）

线轮廓度

公差符号

定义：

公差带是包络一系列直径为公差值t的圆的两包络线之间的区域。诸圆的圆心位于具有理论正确几何形状的线上。

还记得圆度吗？对于标准形状的图形，自然好规定公差带的形状，轮廓度就是一种不标准的形状，可以是任意形状的，所以公差带是包络的圆所形成的轮廓，包络圆的圆心在理论正确几何形状线上。

需要注意的是：测量过程，必须一直与理论正确几何形状线垂直，也就是与它的法线重合。如下图所示。

面轮廓度

公差符号

定义：

公差带是包络一系列直径为公差值t的球的两包络面之间的区域。诸球的球心位于具有理论正确几何形状的面上。

绿色小球就是直径为公差值t的一系列小球。零件的轮廓面不能超出包络小球的内、外轮廓面，也要注意，小球的球心必须在理论正确几何形状面上。测量方法，与线的轮廓度一样，必须与理论正确几何形状面垂直（法线方向）。

什么候用线轮廓度？什么时候用面轮廓度？

线轮廓度测量时需要一个截面，试想，截面就变成了二维问题，把测量的点连起来自然形成了线。而面轮廓度是在空间内测量，把所有测量点连起来自然就是一个曲面。

了解叶片泵或转子发动机的都知道，这两个家伙对轮廓度要求就很高，也是很经典的使用场合。