恒定是什么意思(恒定是什么意思物理)

摄影中的“恒定光圈”是什么意思？

摄影入门：各位购买镜头时或在网上搜查镜头资料时，可能会发现有些变焦镜头特别贵，而且不像一般变焦镜头有3.5-5.6等数字串，反而只是看到一个数字如f/2.8、f/ 4等，大家知道那些镜头有什么特别之处吗?

变焦镜头的最大光圈

变焦镜头上的1:3.5-5.6等的数字代表该镜头在最广角和最远端时的最大光圈，例如一支“NIKKOR 18-200mm f/3.5-5.6G IF-ED”，在焦距为18mm时可使用的最大光圈为f/3.5，而当变焦到200mm时可使用的最大光圈便只有f/5.6了。

变焦时能保持光圈不变吗?

当然能！这就是所谓的”恒定光圈”了，如果你使用有”恒定光圈”的镜头，你便能一直保持镜头所能做到的最大光圈了，即使你把焦距调到最远端你也能保持“镜头可能的最大光圈”，例如SIGMA的24-60mm F2.8 EX DG，使用者在焦距24mm到60mm也能随意用上f/2.8的大光圈。

“恒定光圈”的好处

光圈基本上能影响两个方面——景深和进光量，如果在改变焦距时未能保持光圈值，这样便有机会未能保持浅景深，而且因为光圈变少，进光量随之减少，那么快门必定会变慢或者ISO需要提高来保持曝光正常，快门一旦超过了“安全快门”，那么便很容易导至震动和相片模糊，而ISO的提高便会造成噪点的出现，令相片画质下降。因此一支拥有“恒定光圈”的镜头能令摄影师更容易控制相片的曝光和景深，集中注意力处理其他事情，如采光和构图等。

为什么不是所有镜头都有”恒定光圈”?

“恒定光圈”的镜头结构比较复杂，而且成本不低，所以厂商大多因应市场而求来推出一部份拥有“恒定光圈”的镜头，话虽如此，现在数码单反的价格也很平民化，一些拥有“恒定光圈”的镜头也不太贵了。

新手需要恒定光圈镜头吗?

新手需要学习的东西实在太多了，一旦常常也能使用f/2.8等的大光圈，往往令初学者忘记光圈值对曝光的重要性，反而防碍了学习，而且这些镜头一般价格比较高，初学者倒可以把金钱投资在基本配件如外置闪光灯、脚架、偏光镜等，待有需要升级镜头时才因应实际使用情况，看看是否需要购买拥有“恒定光圈”的镜头吧！

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对称性！对称性！还是对称性！

科学无国界

我们是知识的搬运工

福利时间

今天我们将送出由上海文艺出版社提供的优质科普书籍《银河帝国：基地七部曲》。

你可曾想过，未来是否可以被公式计算？

科学的力量，究竟重要到何种程度？

人类进化的下一步，究竟会发生什么？

家喻户晓的“机器人三大定律”又是怎么回事？

为什么机器人和人工智能都得按照三大定律设计？

今天（2020.01.02）是科幻大师阿西莫夫诞辰100周年，作为“科幻小说三巨头之一”，被誉为“神一样的男人”阿西莫夫代表作——《银河帝国》系列被世界科幻协会评为“人类历史不容错过的系列小说”。在书中，大师用轻松易读的小说方式，通过一场场酣畅淋漓的戏剧性冲突，为我们创造了一个科学思维严谨的未来世界。

只要你认真阅读下面的这篇文章，思考文末提出的问题，严格按照 互动：你的答案 格式在评论区留言，就有机会获得奖品！

作者：Marianne Freiberger

翻译：Nothing

审校：Nuor

即使在物理学中，时时考虑对称性也是一件好事。二十世纪二十年代保罗·狄拉克建立了描述电子行为的方程。方程中有一项算式没有物理解释，出于对对称性的考虑，狄拉克很快为这项算式提出了一个物理解释。他规定每一个电子都具有被称为正电子的反电子，这正是方程中多的分量要表达的内容。过了没几年，正电子在宇宙射线中被发现，现在它在医疗诊断中通过正电子断层扫描（PET）造福了数百万人。

你的大脑的PET扫描图像是对称的

这个巧合看起来很是不可思议，但却不是唯一一个理论走在实验前面的例子。对于对称性的特殊关注导致了许多现代物理学中的发现。我们一般只会把对称性当做视觉上的对称性，但实际上它是内涵更广的概念。对称性指的是变化中的不变性。正方形之所以对称是因为它绕中心的轴转动90度后看起来和之前完全一样。在物理学中人们发现，某些保持不变的物理量或者模式表明你正在研究一些很基础的性质。

一个例子是守恒定律：一些特定的物理量，如能量、动量或者电荷量等都不能凭空产生或消失，它们是守恒量。1915年，数学家埃米·诺特将这些守恒量和对称性联系起来。例如，角动量守恒表明力学定律在旋转操作下是不变的：无论实验仪器是朝东、朝西、朝南还是朝北，或者其他什么方向，物理学家都会通过实验看到相同的结果。诺特定理表明对于自然定律来说守恒定律和对称性是等价的：每一个守恒律都有相对应的对称性，反过来也一样。

这是物理学和对称性之间优美又深刻的联系，但我们可以走得更远。即使我们不去观察宇宙，对称性也可以帮我们推断出宇宙的样子。例如，它可以帮我们推断出引力是一定存在的。

引力和运动

我们可以在火车上尽情享受美食的原因是，火车上的物体在火车匀速行驶时和静止时的行为是一样的。

物理定律在旋转操作下的不变性表明将一个人放入没有窗户的盒子中，他无法判断他朝向的方向是什么。让盒子动起来会起到类似的效果：只要盒子以恒定的速度运动，任何在盒子中进行的实验都无法告诉盒子里的居民他们正在以怎样的速度运动，甚至不能告诉他们是否在运动。我们坐火车的时候都有这种体验：只要火车不进行加速、减速、转弯，铁轨也不颠簸，火车里发生的事就会和在站台上发生的事一模一样。这是另一种对称性：两个惯性参考系中的物理规律完全相同。

如果盒子进行加速或者减速会发生什么？盒子中的居民会不遵守大自然的对称性吗？答案是否定的，这正是引力出现的地方。盒子里的居民会意识到有奇怪的事情正在发生，因为盒子中的所有物体（如果没有被钉子钉住的话）都会突然向某一面墙运动。如果盒子刚好移动到一个质量合适的物体旁边，这个物体的引力会拉动盒子内的物体运动，运动方式就和盒子的加速度造成的运动相同。盒子内的居民无法区分是引力还是盒子的加速度造成了这些运动。

带正电和带负电的粒子产生电场。

需要注意的是重力是至关重要的。在没有重力的世界中，盒子中的居民可以测量出加速度的大小。处于有和重力性质相似的力的世界中才能看到力和加速度之间的对称性，因为这样的力才能复现出加速度的效应。这种对称性要求相应的力的存在，我们甚至在感受到它之前就能推断出它的存在。

对称性和其他力

阿尔伯特.爱因斯坦正是受到了对称性的启发才创造了被称为广义相对论的关于重力的理论。在1915年发表广义相对论之后没多久，物理学家意识到一些其他的力也有和重力相似的对称性：只要保证某一对称性存在，那么相应的力一定存在。“被称为规范理论的理论非同寻常，”剑桥大学的数学家以及宇宙学家约翰·巴罗解释道，“某种意义上需要这些力的存在来保证理论的自洽。”

自然界中的其他力如电磁相互作用力、强相互作用力和弱相互作用力操控着基本粒子的行为，因此对称性也可以告诉我们关于基本粒子的信息。“每个理论都会遵循一个特定的，很抽象的模式，”巴罗解释道，“这个模式不仅决定了力如何起作用还会决定哪种粒子可以存在。这种判断方法非常强大。物理学家已经被对称性的威力和关于对称性的论证震惊到了，他们可以借此得到支配基本粒子的理论。”

这还不是全部。20世纪六十年代，物理学家提出电磁相互作用和弱相互作用这两种基本的相互作用其实是同一种相互作用不同的两面：它们可以被弱电相互作用统一描述。它们拥有统一的数学框架，一种规范理论可以同时描述这两种相互作用。“对于这两种相互作用的描述非常像之前麦克斯韦对电磁相互作用的描述，所以它们可以统一起来，” 伦敦国王学院的克拉克.麦克斯韦教授约翰·埃利斯解释道，“这是一组更加复杂的方程，但是它们是相对简单的，因为有一种对称性将它们联系起来。”

我们希望将这种对称性进一步推广，最好可以把其他的相互作用也包含进来。“这就像你找到了四种模式来描述四种基本的相互作用，正如七巧板一样，你想把它们拼在一起，这样每个模式都可以看作一个更大的模式的一部分，”巴罗说，“你希望通过将不同的模式结合在一起来给单独的模式加上新的限制条件，这样可以预测出能被实验检验的新的粒子和物理。”

对称性破缺

这枝铅笔一定会倒下来。自然法则并不能决定它会朝哪个方向倒下——它是旋转对称的。一旦它以一种方式倒下，情况就不再是对称的了。但这种不对称是自然规律的结果，而不是规律本身的不对称导致的。

但在某种情况中，这些力在某种意义上是同一种力，我们今天为什么把它看作是不同的力？答案是，有的潜在的对称性可能会隐藏起来，但这并不意味着它从理论中消失了。例如，想像一只朝下且处于平衡的铅笔，由于重力的作用，铅笔有倒下去的趋势。“由于重力是竖直朝下的，所以铅笔往哪个方向倒下都有可能，” 巴罗解释说 ，“铅笔不会总是朝着一个方向倒下，但即使在绝对零度的完美真空环境中，量子涨落也会让铅笔倾向于倒向某个方向。”因此，自然规律造成的结果并不一定要和自然规律自身具有相同的对称性。

“我们自身就是对称性破缺的例子，”巴罗说，“此刻，你我正处于宇宙中某个特定的位置上，但是我们的行为受电磁学和重力的支配，不过这两种力并不会青睐宇宙中的某一个位置。为什么宇宙中的事物如此多姿多彩也是宇宙中的一个谜题。如果自然规律造成的结果和自然结果自身具有完全相同的对称性，宇宙将变得千篇一律，无聊至极。”

就这些力而言，他们的想法是，在宇宙从大爆炸中冷却下来的过程中，刚开始宇宙是均匀和高度对称的，某些力会跳出对称性变得有点不同。巴罗解释说：“最初，人们的期望是一切都高度对称，然后逐渐达到某些临界值。当你达到一个特定的温度时，强相互作用力就会变得不同于其他的力，所以一个对称性就会被打破，最终，弱相互作用力和电磁力，就会变成不同的力。所以当宇宙冷却时，就会出现这些对称性被破坏的现象，就像铅笔朝一个方向落下一样。”

对称性和现实

所有这些情况似乎提出了一个很高的要求。很难相信我们的充满各种复杂现象的宇宙会遵循一些基于对称性的相当简单的定律。然而，这种理论已经导致了不少发现。弱电统一和隐含对称性的破缺需要相对重的Z玻色子与W玻色子的参与。事实上粒子有重的也有轻的，但是对称性要求粒子是没有质量的，必须有希格斯玻色子的参与才能让粒子获得质量。这些粒子都已经被找到了：上世纪80年代欧洲核子研究中心已经发现了Z玻色子和W玻色子，2012发现了希格斯玻色子。

同样值得注意的是，简单的理论并不一定意味着简单的计算。物理学家认为，支配强相互作用的理论具有一个相对简单的整体结构，但你需要进行大量的计算，才能真正描述现实世界的现象，这些计算复杂到即使是最快的超级计算机也无法精确求解。巴罗说：“数学理论可以引导我们找到一个候选（理论），但我们不知道如何解出方程式来得出结果。结果要复杂得多。它们不必具有与物理定律相同的对称性。”

物理学家们会忘记实验而仅仅依赖理论吗？不完全是的。“特别是在粒子物理学领域，实验物理学家要找到理论物理学家没有预言的粒子和理论物理学家要预测实验物理学家没有发现过的粒子之间存在着一场长期较量，”埃利斯说，“两者都可能会实现，我认为这反映了一个事实，即科学是通过理论和实验之间的持续合作而进步的。”

原文链接：https://plus.maths/content/symmetry--and-symmetry-breaking

【互动问题：你所在的领域有哪些必须遵守的原则?】

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*本活动仅限于微信平台

编辑：aki

肌肉系统：肌肉皮肤系统的体温调控#关注我持续更新

为什么我们会在寒冷时发抖？手对脸传递什么信号？本视频将阐述人体如何利用肌肉调节体温，这被称为热量调节。为了达到这一目的，首先需要概述体温调节的机制。接下来将讨论人体如何应对高温，最后讨论如何应对低温。一个普通人举起手臂时，会发现外面很热，这会使身体皮肤感到非常热。这种感觉会产生神经元信号，通过神经传导到达大脑。大脑中感知炎热的部分是下丘脑，实际上有两个不同的区域。分别对两种不同类型的温度做出反应。一个叫前下丘脑，表示下丘脑的前面，另一个叫后丘脑。哪一部分对哪种类型的温度做出反应？答案是如果外面很热，我们喜欢用下丘脑的前部对温度做出反应，就像身体着火的感觉。所以如果很热，我们就会使用前下丘脑来做出调整。如果天气很冷，我们会使用后丘脑，发抖是因为外面实在很冷，所以我们的下丘脑后部就会产生反应。这种机制听起来不错。当大脑感知到外界很热时，会发生什么？大脑会给身体发回一个信号，命令身体做出反应来保持体温恒定。收到信号后，各部位开始被调动起来。身体中的肌肉将做出某些反应，以确保体温能保持恒定。这包括平滑肌和骨骼肌，分别用于应对温度的变化。那么这是如何实现的呢？让我们看看当在炎热或寒冷的环境下，肌肉如何帮助我们做出应对能力。

我们将介绍两种类型的肌肉所起的作用。

·第一个是平滑肌，确切地说是连接小动脉的平滑肌。小动脉只是活动脉和微动脉的缩小版。

·第二个起作用的肌肉类型是骨骼肌，这种类型的肌肉在肱二头肌和肱三头肌中发挥作用。

现在我们来回答一个问题，为什么你认为小动脉与体温有关，我意思是身体热量的多或少，会使得它们有怎样的不同？它的工作方式是这样的，看这根血管我在这画一个，里面有很多红细胞和白细胞，蛋白质等等。所有这些东西都在血流中流淌，它们只是以一种随机的方式来运动。

这种由白细胞、红细胞和血液中所有其它物质相互碰撞产生的动量就是能量，所以人体的血液中有很多能量，能量也是热量的一种形式。因此，如果处在炎热的环境里，想要摆脱炎热就要把更多的热量放到最表面，或者说身体最外面的部分皮肤，所以流向皮肤的血液越多，人体能够释放的热量越多。这就是人体调节体温的方式。接下来我们来聊一聊这个话题，当天气炎热时，我们的平滑肌会放松，从而导致小动脉的扩张，这被称为血管舒张。随着动脉的扩张，血液会流向皮肤，使之变得更加鲜红。大量的红细胞、白细胞和蛋白质会在这里产生，这些都是身体在散发热量时所必需的。这会使皮肤变凉，从而帮助身体降温。此外，当肌肉放松时，会有更多的血液流向核心，这样可以保存更多的热量。通过将血液分散到皮肤，可以将所有这些能量或热量消散掉，从而帮助身体保持凉爽。对于骨骼肌来说，他们的作用是在第二种温度变化中发挥作用，也就是寒冷的时候。当天气寒冷时，我们的平滑肌会收缩，从而导致小动脉的收缩，这被称为血管收缩。随着小动脉的收缩，血液会更集中地流向核心，从而帮助身体保持温暖。这就是平滑肌起到的作用。那么，骨骼肌的作用是什么呢？当天气寒冷时，骨骼肌也会收缩，但其目的与之前有所不同。当骨骼肌收缩时，会消耗ATP，从而释放能量。这被称为放热反应，因为它会释放能量。这种反应会产生热量，帮助身体保持温暖。核心肌肉群也会发生类似反应，从而产生更多的热量，并储存在体内，帮助身体抵御寒冷。这并不是什么罕见的过程，我们已经非常熟悉了。我们的核心骨骼肌肉群的收缩，实际上只是被称为颤抖，这就是为什么在寒冷的时候会颤抖的原因。颤抖可以帮助我们在寒冷的时候保持温暖。肌肉的作用就是帮助我们应对温度变化。

《规模》：万物共通的尺度法则

作者：杰弗里·韦斯特

引子：伽利略的洞见

提起伽利略，大家可能会想到，比萨斜塔上的著名实验：伽利略手持大小不同的两个铁球，轻轻放下，最终同时落地。随着铁球一同落下的，还有许多围观者的下巴。

此前，在长达两千年的时间里，基于直觉的亚里士多德理论统治着世界：重的物体要比轻的物体先落地，而且下落的速度与物体的重量成正比。

这次实验物理学里程碑式的反直觉事件，让伽利略被后人尊称为“现代科学之父”。

即使对物理学、数学、天文学和哲学做出了影响深远的杰出贡献，晚年的伽利略却由于支持哥白尼的日心说，在69岁高龄时被罗马宗教裁判所关押，在软禁中度过了余生。

在长达九年的软禁期间，伽利略写出了一生中最好的作品，也是科学文献史上的典范《关于两种新科学的对话与数学证明》。这本书，记述了伽利略40年来系统性地应对“以逻辑、理性的框架理解我们周遭自然世界”这一挑战的研究成果，为日后牛顿及许多科学成就奠定了基础。

这本伟大的书籍，以三人对话的形式写就。在虚构的四天见面时间里，他们就（伽利略希望解答的）的各种问题展开讨论和辩论。

在对话的第二天，书中伽利略的化身萨尔维亚蒂，提出了一个有趣的问题：

自然界能否长出巨大的树木，人、马或其他动物的身高能否无限增长，又或者能否造出巨大无比的轮船、宫殿或寺庙？

伽利略的观点简单直接，这是不可能的。无论是自然界的生物，还是人类造的物品，它们能够长到多大要受到基本的限制。

伽利略的洞见示意图

限制来源于一对基本的矛盾。当物体的长宽高等比例扩大一倍，在密度不变的情况下，其重量（也就是体积）会增长8倍，而强度（也就是面积）仅增长4倍。

持续增长下去，最终的结果就是：自重会超越自身的承重能力，进而压垮自己。

伽利略的洞见，有着深远的影响。

比如，像哥斯拉这样身高数百英尺的庞大怪兽根本不可能存在。原因在于，如果它也是由构成生命的基础材料组成的，不要说身手敏捷，仅仅是它的体重就能把自己压垮（想想那些只能终日卧床的大胖子吧）。

等比例缩放所带来的非线性变化，在《规模》一书中，被拓展到更广阔的层面。不仅是生命，就连城市和公司，其背后都有着统一的规模法则。

在多样和复杂的背后，有着惊人的简单与一致。

生命与规模

生命或许是宇宙中最复杂、最多样化的现象。据估计，地球上有超过800万不同的物种。最小的细菌质量不足1皮克（万亿分之一克），而最大的动物蓝鲸则重达100多吨。

不只是质量，物种的寿命与胃口也是千差万别。许多细菌仅能存活1小时，所需的食物微不足道；而鲸类普遍可以存活百年之久，每天需要吞食数吨的鱼虾。

生命系统是典型的复杂系统，运行在范围广阔的多个空间、时间、能量和质量的尺度上。同时，生命系统又是自适应系统，在自然的选择下，更适应环境的偶发突变得以保留，并通过繁衍快速放大。

既然物种的多样性能够归结为进化规则经年累月、反复作用的结果，那在这多姿多彩的背后，是否还有为生命所普遍遵循、跨越尺度差异的基本规律呢？

答案是有的。

代谢率：生命的规模效应

新陈代谢的正常运行是生命得以维持的基本前提。代谢能量为生物体提供维持、生长、繁殖及体液循环、肌肉收缩、神经传导等生命过程所需的动力。如果不能从食物中汲取代谢能量，无论是大脑中的神经元还是基因中的遗传因子，都将无法发挥正常作用。

代谢率是生物学的基本速率，衡量生物每天需要多少食物才能生存，通过它可以确定生物体几乎所有的生命节奏。以我们人类为例，平均基础代谢率大约90瓦特，相当于一只白炽灯泡，也相当于每天需要通过饮食摄入2 000卡路里的热量。

人类如此，其他生物每天需要多少食物和能量呢？

动物代谢率与其体重的关系

如上图所示，你可以会感到惊讶，动物的代谢率与其体重竟然呈现出清晰的比例关系。

实际上，早在1932年，丹麦生理学家马克斯·克莱伯就在常见的动物身上发现了这一规律。此后，研究人员做了深入的拓展，发现同样的法则适用于横跨27个数量级的不同生物。

细心的读者，可能会进一步发现，规律呈现为对数坐标系下的一条略向下倾斜的直线。之所以采用对数坐标系，是为了在有限的空间里展示更大的范围。而略向下倾斜，意味着直线的斜率小于1。

实际上，直线的斜率为3/4，这也是克莱伯定律中的著名指数。这意味着，如果30克体重的老鼠，代谢率为1瓦特的话，那么体重3000克的猫，代谢率为32瓦特。

如此一来，尽管猫的体重是老鼠的100倍，但其代谢率仅为老鼠的32倍。也就是说，代谢率的增长，要显著低于体重的增长，这让生命系统具备了规模经济。

生长、寿命与心跳：规模效应的影响

动物体形扩大一倍，只需增加75%的能量消耗，等价于每次体重翻番都能节约25%的能量。这种系统性的规模经济给生命带来深远的影响。

首先来看看生长。对于生命来说，摄入的代谢能量，一方面用于细胞的一般性维护和修复，另一方面则用于生成新的细胞。换句话说，代谢能量遵循着基本的守恒规律，要么用于维护，要么用于生长。

想象一下，一个生物体的体形加倍，相应的体内细胞的数量也会加倍，因而细胞生长所需的能量也要加倍。然而，其代谢率（能量供应）仅为原来的1.682倍，小于2。这就导致用以维持存量细胞所需的能量比新陈代谢所能提供的能量增长得更快，迫使可用于生长的能量持续地减少并最终归零，因而生长停止在某一时刻。

这就是，为什么我们最终会停止生长，即使我们仍然在进食，仍然在新陈代谢。同样的，维护能量的持续增加，可以定量地解释了为什么我们的生长速度，在刚出生时最快，后来逐渐变缓，并最终停止。

这一通用过程，决定了所有动物的生长曲线，看起来都很类似。它揭示了生命的高度一致性和相互联系性。

所有动物的共通生长曲线

我们再来看看寿命。现代社会的一大改善是，人类的平均寿命在不断延长。自然，我们很关注的是，人类的寿命到底有没有上限。

为此，生物学家、精算师和老年学家创造了死亡率一词，用以表示在某一特定时期（例如一个月）内死亡个体数与存活总人数的比例。

结果发现，大多数生物体的死亡率是与年龄无关的常数！举个例子，如果5%的人口在5~6岁之间死亡，那么45~46岁之间，或95~96岁之间的死亡率，同样也是5%。

恒定的死亡率，意味着在某个时间段内死亡的个体数与存活到该时间点的个体数成正比。换句话说，随着年龄的增长，个体死亡的概率呈指数级增加。

这恰恰也是物理世界中许多衰退过程遵循的规则。比如，量化放射性物质的衰变过程的衰变率，通常是恒定的，因此放射性物质的数量随时间呈指数级减少。

人们的死亡遵循着恒定的死亡率，所以长寿的概率非常小。尽管随着城市化和工业革命带来的巨大变化，人们开始活得更长并逐渐摆脱了恒定死亡率的束缚，但曲线的终点，即存活率为零和死亡率为100%，总是保持不变——125年左右。

人类存活曲线的演变

动物寿命存在上限，根本原因来自于细胞与分子层面的损伤，会随着年龄的增长而不断累积。当累积的损伤超越某个阈值之后，整个生命系统将无法继续运转，从而死亡来临。

在关键的细胞层级上，动物体形越大，代谢率越低，它们的细胞就会产生越少的系统性损伤，这会使它们的寿命得到相应的延长。

换句话说，动物的寿命和代谢率成反比。代谢率的规模效应，使得体型越大的动物，寿命得到相应的延长。

最后来看看心跳。如下图所示，所有哺乳动物一生中的平均心跳次数大致相当（大约15亿次），尽管体形较小的老鼠只能存活几年时间，而大型动物鲸则可以存活100年之久。

动物一生中的心跳次数与其体重的关系

相同的一生心跳次数，意味着寿命约为两年的鼩鼱每分钟心跳1 500次左右，而寿命75年的大象，每分钟心跳仅30次左右。

最大的例外正是我们人类自己：就现代人类而言，我们的心脏平均能够跳动25亿次左右，几乎是一般哺乳动物的两倍。

需要特别强调的是，我们拥有如此长的寿命，不过是近100年来的事。纵观整个人类历史，除了相对较近的这段时期，之前人类的寿命仅为我们当前水平的一半，与大多数哺乳动物相当，都遵循了“15亿次心跳”的恒定“法则”。

恒定的心跳次数，结合代谢率和体重的关系（3/4次幂），我们容易得出：哺乳动物的心率随身体质量的1/4次幂下降。

小结一下，体重越大的动物，心跳越慢，而寿命越长。

生命的第四维：1/4次幂规模法则的由来

刚才我们已经看了几个例子，有趣的是，不仅如此，生物体中几乎所有最基本、最复杂的可量化特征，都以一种非常简单的规律方式随着规模的缩放而发生变化。

除了代谢率，它还包括诸如增长率、基因组长度、主动脉长度、树木高度、大脑灰质数量、进化速率和寿命等，可能有超过50种这样的规模法则，令人吃惊的是，它们的对应指数都接近1/4的整数倍（类似克莱伯定律中的3/4）。

由于在规模缩放的过程中，生物特征随着体重的变化成幂函数关系，因而1/4次幂规模法则成为生物学的普遍特征。

这有力地表明，进化受到了自然选择以外的其他物理学原则的制约。我们不由得会发问：神奇的数字4是从哪里来的？

生命系统是一个开放系统，需要外界持续不断的供应物质、能量与信息。在身体内部，各种分级网络系统，诸如循环系统、呼吸系统、神经系统等，将所获取的供给，逐级地输送到每一个细胞。

事实上，仔细想一想，就会意识到，在光滑的皮肤下面，我们人体是一系列网络的集合体，每一级网络都在忙着运输所在层级的代谢能量、物质和信息。

实际上，规模法则在生物学中的机理源头，就根植于多重网络的通用数学、动力学和组织特性。

生命的网络系统，具备三个基本特征：

空间填充：网络的触角必须延伸至它所服务的整个系统的各个角落。比如，人体的循环系统从心脏开始，经过规模不断缩小的血管，最终通过最小的毛细血管供给全身养分。终端单元的恒定性：仍以循环系统为例，无论哺乳动物的体形多大，终端单元毛细血管，都有近似相同的尺寸和特点。优化：在自然选择过程中，隐含的连续的多重反馈和调整机制在过去长期发挥作用，使得网络性能得到了“优化”。比如，循环系统的优化目标是输送血液的平均能量值最小化。这在物理学中，被称为最小作用量原理，即一个系统在多种可能配置中，最终得以实现的是作用量最小的那一个。

在这个基础上，自然选择让循环系统进化出了自相似的分形特征。简单来说，下一层级的单元，都与按比例缩小后的原版整体相像。

为了让在其中脉动的血液，不在血管的分支处出现反射现象，从分支点出发的子血管的横截面面积总和，需要与抵达分支点的母血管的横截面面积总和相等（类似于交流电输送中的阻抗匹配），即形成如下图所示的等面积分支构造。

等面积分支结构

网络的体积（体内的血液总量）必须与身体体积成正比，因而与体重成正比。当体重增大一倍时，网络的体积也要增大一倍。由于终端单元毛细血管大小恒定，可以自下而上倒推出网络层级的增量。

在书中，作者并未提供详细地定量推导，只是指出长度的立方根规模法则和半径的平方根规模法则之间的数学关系，受到血液体积的线性缩放和终端单元恒定性的约束，由此产生了1/4次幂的规模法则。

对此，我的定性理解是，由于分形网络的空间填充特征，使得本质上二维的微管，通过折折叠叠的分支，最终覆盖了三维的身体。在这个过程中，大量的中间管道，由于复用了上一层级，从而产生节约。

读者朋友，如果你看懂了推导的过程，还请不吝赐教。

有了1/4次幂规模规则的约束，包括你我在内，所有曾经存在过的哺乳动物平均来说都可以看作一只理想化的哺乳动物按比例缩放后的版本。

生命之间，由此产生深刻的内在联系。

城市与规模

在人类存在的几乎整个时间段内，大多数人都居住在非城市环境中。然而，这一情况正在发生急剧的变化。

2006年，地球跨过了一个引人注目的历史分水岭：全世界已经有超过一半的人口居住在城市中了，而100年前这一比例还仅为15%，1950年时仅为30%。预计到2050年，城市人口比例有望超过75%。

无怪乎，现如今历史学家会将最近的这段历史时期，称之为城市世。地球，已经演化至由城市主导的阶段。

作为人类文明的代表性结果，城市是否如同动物，是彼此按比例缩放的版本？不同规模的城市之间，是否存在如同我们在生物界发现的普遍性相似？

城市的物理基础设施

城市的正常运作，需要源源不断地供应物质和能量。我们先来看看，物理基础设施这一面。

最早的发现，来自于城市规模与加油站数量之间的函数关系。如下图所示，随着人口规模的变化，加油站数量的增长遵守简单的幂律。直线的斜率，即指数大约为0.85，比生物体代谢率中的0.75（著名的3/4）略高。

加油站数量与城市规模的关系

由于0.85这个数字比1小，因而比例缩放是亚线性的，代表着系统性的规模经济，这意味着，城市规模越大，人均所需的加油站数量越少。因此，在规模更大的城市，平均每座加油站服务的人数会更多，每月卖出的汽油数量也比小城市更多。换句话说，人口规模每增加一倍，城市只需要增加85%的加油站，而不是翻番。

15%的差异看起来可能不多，试想我们对比一下5万人的小城市与500万人的大都市，为了服务100倍于原来的人口规模，只需50倍于原来的加油站数量。因此，从人均意义上来说，服务同样的人口数量，大城市只需要相当于小城市一半的加油站即可。这个节约量，还是很可观的。

进一步的研究发现，无论具体的城市体系如何，无论是在日本、美国或葡萄牙，无论具体的指标是加油站数量，还是管道、道路、电线的总长度，城市规模每增长一倍，只需要增加85%的物质基础设施。因此，人口每增长一倍都会带来15%的系统性节约。

随着人口增长，城市规模增大所带来的系统性基础设施节约，成为推动城市不断发展的根本动力之一。

城市的社会经济活动

城市的建造目的，是为居住其中的人们持续不断的互动提供支撑。我们再来看看，社会经济活动这一面。

随着语言的发展，人类获得了以生命史上从未有过的规模和速度交换和交流新信息的能力。基于交流的信息共享，使得我们可以更快地完成特定任务，同时人均消耗的能量更少。更重要的是，不同观点的碰撞，是创新的摇篮。而创新是人类解决自身所面临的重大问题的根本出路。

城市对多样性人群的集聚效应，使其成为文明的熔炉和推动创造与思想的引擎。

如果说城市基础设施网络朝着成本和能源利用最小化的方向发展，那么城市社会互动网络则通过个体之间连接性的最优化来实现社会资本的最大化。

六度分隔理论的提出，明确了人与人之间可以通过有限的次数彼此连接。与表象不同，我们之间的相互联系远比我们所知的更加密切。

城市规模的增长及基础设施的便利，进一步推动和促进了人与人之间的社会互动。限制人们互动的时空约束，被城市基础设施的规模经济所改善，这导致了一个意义深远的结果：

基础设施与能量利用的亚线性规模缩放的程度与普通个体社会互动超线性规模缩放的程度相当。

换句话说，基础设施15%的规模经济，等效地提升了15%的社会互动程度。

其结果就是，所有以社会互动为根本驱动力的方面，都得到了系统性的提升。好的方面，城市越大，每个人的收入、创造、机遇、创新和互动越多；不好的方面，城市越大，每个人所经历的犯罪、疾病和暴力也越多。

社会互动的超线性（无论好坏）

多面城市

在前面两节，我们已经看到作为新兴复杂适应社会网络系统，城市规模的加大将带来人均社会互动的增加，与此同时，成本也会相应降低。这为城市带来了多面的特征。

最显著的改变之一，是交通旅途所需时间的大幅缩减。人们经常会说，世界变小了。很明显，地球并没有变小，只是旅行时间缩短了，这为人们的个人生活、地缘政治等各个方面都带来了深远的影响。

按道理，交通时间的缩短应该让人们时间变得更为充裕。然而，以色列的一位工程师雅各布·扎哈维发现，无论城市规模大小，或者采用何种出行方式，一个人每天平均花费在交通上的总时间大致相同。基本上，人们通常每天花费一小时的通勤时间。

过去几百年来伟大的发明创造所带来的交通速度的提升并没有用于减少通勤时间，反而被用于增加通勤距离——人们利用这些进步所带来的优势，住到了更远的地方，前往工作地点的距离更长了。

此外，通过葡萄牙的手机数据和英国的固定电话数据，研究人员发现人们花在电话通话上的总时长和他们之间的电话通信总次数会随着城市规模的扩大而系统性增加。随着城市规模的扩大，人类的社会互动确实在增长。

有了规模法则之后，城市之间的排名有可能会变得更公平。传统的城市排名方法，是利用简单的人均值作为表现优劣的指数。规模法则揭示，人均指标会随着城市规模非线性增长，这使得排名天然的倾向于规模更大的城市。经过比例调整，去除规模带来的天然优势之后，城市之间的排名可以更加规模中性。

以美国城市为例，根据这一方法，纽约成为了一个十分普通的城市。在大城市之中，旧金山的表现最好。而真正出色的通常都是小城市。有趣的是，以圣何塞为例，在20世纪60年代信息技术发展起来之前，就已经表现得非常有活力和创造力了。换句话说，可能不是硅谷成就了圣何塞，而是圣何塞市的文化和城市基因中的无形因素催生了硅谷的巨大成功。

有关城市规模与商业多样性的关系，也十分有趣。根据北美产业分类体系，人口规模从10万增至1 000万，会导致企业数量增长100倍，但企业的多样性只会增长两倍。换句话说，城市规模增长一倍，企业总量增长一倍，但新型企业的数量只会增长5%。

在纽约，数量最多的企业类型便是医生办公室，之后是律师事务所，然后是餐馆。而根据所有企业类型的位序——规模分布则反映了每一个特定城市的独特之处，这表现为其经济活动的构成。多样性的增长存在正反馈机制，企业类型越常见，该类型的企业数量增加得就越多；企业类型越少见，增加的数量就越少。

特定的企业类型的排名，会随着城市规模的增长而变化。例如，在北美产业分类体系最为粗粒度的层面上，农业、采矿业和公共事业等传统行业与城市人口规模呈亚线性比例关系。理论预测，这些产业的排名以及丰度将会随着城市规模的扩大而下降。以专业性、科学和技术服务为代表的信息和服务企业以及管理型企业和公司，与人口规模呈超线性比例关系，理论预测这些产业的排名和丰度都会随着城市规模的扩大而提升，比如规模更大的城市中人均拥有的律师数量就越多。

北美产业分类体系排名及位序-规模分布

最后，每一座城市的企业总量与城市人口规模呈线性比例关系，无论这些企业从事何种商业行为。平均而言，城市规模增长一倍时，你会发现企业数量也增长一倍。无论城市规模如何，一座城市中大约每22个人便会有一家企业。在这些企业工作的雇员总数也与人口规模呈线性比例关系。平均而言，无论城市规模大小，每家企业只有8名雇员。

城市增长是否有极限？

城市是我们发明的用于推动和促进社会互动与人类合作的天才机制，而社会互动与人类合作则是人类创新和财富创造得以成功的两个必要因素。因而，城市从诞生之初起，就开始了指数级的规模增长。

然而，指数的特性之一，便是未来将会以更快的速度成为现实，当问题出现时，想要成功地解决就已为时晚矣。换句话说，城市的增长是否会由于触碰约束条件的极限，而难以为继？

支撑一座城市的底层物质基础是能量与资源。也就是说，我们必须要为城市发展找到足够的供给。越大的城市，增长速度越快，需要越多的供给。以能源为例，全球每年大约需要150万亿千瓦时。作为自然人，我们每天需要90瓦特的能量；作为城市人，这一指标稳步增长至今天3 000多瓦特的水平。而在美国，这一指标几乎是平均水平的4倍，达到1.1万瓦特，这比自然生物的代谢率要高出100多倍。

同样重要的是，能耗的大幅度增长是在按照进化标准而言非常短的时间内发生的，因此，任何系统的调整或对其影响的适应都无法实现。

在目前全球每年的总能耗（几乎是1980年的两倍）中，有大约1/3被浪费了。例如，汽油中只有大约20%的能量被用于推动汽车前进。创新的重要作用之一，便是通过改进现有的科技、发明新的科技或者找到新的方式组织科技的应用，以减少这一低效率。

能耗的急剧增长及大量浪费，既推动了经济在整体和人均两个层面的高速发展，也让人类面临可持续发展的重大问题。

如何在经济发展与可持续之间找到合适的平衡，创新成为了关键。比如，过去200年间对于化石能源的巨量开采与消费，更多的是在地球内部这一封闭系统内的索取。同时，大量温室气体的排放，所产生的温室效应，已经对地球的生态造成了巨大的破坏。

如何从这一封闭系统的能源供给及熵增困境中，转向更加开放的形态，比如直接利用太阳能、或者聚变核能等，可能是能源系统可持续发展的关键。

而城市作为思想碰撞的熔炉，为创新提供了巨大的支撑，这也为解决约束城市发展瓶颈的全新方案的诞生，提供了更高的可能性。

最终，城市规模的上限，将取决于巨量消耗与天才创意的反复博弈。

创新或范式转移，帮助社会经济在重大不可持续来临之前，改变发展轨迹

公司与规模

与人和家庭一样，公司是城市和国家社会经济生活的基本要素。创新、财富创造、企业家精神和就业岗位创造都是通过公司的形成和增长来实现的。公司在经济中占据统治性地位。

如果以公司的市值或者销售额作为排名的依据，公司规模遵循简单的幂律分布。大公司的数量极少，而小公司的数量极多。以美国为例，有近3 000万家独立运营的企业，其中绝大多数都是只有很少雇员的私人企业，而构成美国经济活动的主体的是大约4 000家上市公司，总市值超过21万亿美元，比美国的GDP总额还要高出15%。

很自然的，我们会问，公司是否展现出超越规模、个性和商业行业的系统性规律？

通过分析标准普尔会计数据库中1950—2009年近60年间在美国市场上进行交易的所有28 853家公司，作者及合作者发现，公司的确按照简单的幂律呈比例变化。

公司由于存在的历史时长更短，其数据围绕理想比例曲线的波动会比城市和生物体更大。尽管是近似，沃尔玛确实看起来像是更小型公司按比例扩大后的版本。

不仅如此，公司的自相似特征，超越了国别的差异，这体现为无论是美国，还是中国，上市公司都呈现出类似的比例变化的特点。

美国与中国上市公司的比例变化

对公司来说，许多关键的指标都像生物体一样呈亚线性比例变化，而不是像城市那样呈超线性变化。这表明，公司比城市更像生物体，更加受到规模经济，而非规模收益和创新递增的主导。

而亚线性比例变化意味着，公司最终将停止增长并消亡，尽管这一景象是许多首席执行官所不愿意看到的。

类似生物体和城市的增长是由新陈代谢和维护之间的差额驱动的那样，一家公司的总收入（或销售额）可以被想象为它的新陈代谢，而支出则可以想象为“维护”成本。

有趣的是，公司的代谢率既不呈亚线性变化，也不呈超线性变化，而是处于二者之间的线性变化。收入端，销售额与雇员人数的对数比率接近于1。支出端，开始时呈亚线性变化，但随着公司规模的扩大，最终转变为呈近似线性变化。因而，作为增长驱动力的销售额和支出之间的差额最终也近似呈现线性比例变化。

好消息是，线性比例变化足够支持公司的指数级增长。因而，经济作为公司的整体，从平均意义上也会呈现指数级扩张。然而，作为市场竞争的主体，公司要想适者生存、在激烈的竞争中存活下来，就必须要跟上指数级扩张的市场脚步。这也就解释了，为什么公司总是把增长作为第一要务。

与生物体不同，处在早期阶段的公司，受到投资和远大于自身规模的贷款能力的支持，使其能够更快速的增长。随着公司规模的增长以及维护支出转变为线性增长，增速便开始放缓。平均而言，所有幸存下来的公司最终都会步入稳定但又缓慢地呈指数级增长的趋势。

再进一步，当扣除通胀和市场扩张因素之后，公司是否会在成熟阶段停止增长，并像人类一样终将消亡呢？

答案如下图所示，确实如此。

在根据市场扩张进行调整后，最大规模的公司停止了增长。

停止增长，意味着公司将变得十分脆弱。市场中一场稍具规模的波动，或者在错误的时间发生某些意料之外的外部冲击，就会给收支恰好平衡的公司带来灾难性后果。这会带来收缩和衰退，公司或许会复苏，但在严重的情况下，便会导致公司灾难性的消亡。

在1950年以来美国公开上市的28 853家企业中，截至2009年，共有22 469家公司已经消亡。其中有45%被其他公司并购，只有9%破产清算，3%被私有化，0.5%经历了杠杆收购，0.5%被反收购，剩余的则是其他原因导致的消亡。

因破产清算（左图）或并购（右图）而消亡的公司的生存曲线

如上图所示的生存曲线所示，在50年内，死亡公司几乎占到了100%，其中50%在不到10年的时间里便告“死亡”。进一步的分析显示，美国上市公司的半衰期大约为10.5年。而且，公司的整体生命史与它们所处的行业无关。

从进化的意义来说，我们也无需为公司短暂的生命史而过度哀叹。它们的死亡是产生创新活力的重要组成部分，就好像雨林中死去的树木，为活着的物种提供养分和空间。这种“创造性破坏”和“适者生存”，是经济系统演化的重要一环。

最后，我们来对比一下公司和城市。公司通常是高度受限的自上而下的组织，努力提高生产效率，降低运营成本，以实现利润最大化。与公司相比，城市的权力分散于各个不同的组织结构之间。

为了在追求更大市场份额和增加利润方面达到更高的效率，公司通常会在组织的微小层面增加更多的规则、规定、协议和程序，这导致官僚控制的增加，并通常以牺牲研发、创新和组织活力作为代价。这导致公司变得日益僵化，无法对巨大的改变做出及时的反应。而城市通常流露出了一种自由主义、随心所欲的氛围，并利用了社会互动所产生的创新益处。

这就是为什么在公司大量衰亡的同时，城市却保持了长久的活力。就像雨林中的物种生生灭灭，而雨林却长存一样。

后记：停不下来

自从数万年前现代智人走出非洲大陆，人类逐渐在自然之上构造出人工世界。在这个过程中，我们从穴居走向定居，从群落走向部落，从村庄走向城镇，从城邦走向国家。

可以说，就这样一步步地，人类在地球上演化出全新的城市系统，并称之为城市化进程。

如果你离开出生地，步入一座更大的城市，除了更高的建筑物、更密集的人口之外，最直观的感受大概会是行人更快的步伐。

如今，城市已然成为现代社会的代名词。然而，身居城市的现代人，却面临着两种完全不同的动力驱使。

作为生物体，生命的节奏要随着体形的增大，按照1/4次幂规模法则相应减缓。作为城市人，生活的节奏却要随着城市规模的增长，而系统性加快。

从农村来到城镇，从小城市来到大城市，我们肉体的变化微乎其微，心跳不会加速，代谢率也不会提高。然而，城镇的生活节奏要快于农村，大城市的生活节奏更快于小城市。在我们的一生之中，只要城市发展、经济增长，生活节奏就会无一例外地加快。

就好像站上一台不断加速的跑步机，无论你多么努力，同样时间面对的压力却只增不减。

这对内在的矛盾，深刻地撕扯着我们每一个人的肉体和灵魂。这也解释了为什么现代人尽管关注的东西越来越多，然而关注的时长却越来越短。

不是我们不想等一等，而是时代内在的规律，只会越走越快。

（作为一个整体）我们，根本停不下来。

万物皆可傅里叶

俗话说，万物皆可傅里叶！

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域，都有着广泛的应用。到底什么是傅里叶变换？看完这个形象展示傅里叶变换的视频你就明白了。

学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式，数学功底较差的同学听到傅里叶变换就头疼。事实上，许多数学功底好的数字信号处理专业的同学也不一定理解傅里叶变换的真实含义，不能做到学以致用。

目前，傅里叶变换的相关运算已经非常成熟，有现成函数可以调用。对于绝大部分只需用好傅里叶变换的同学，重要的不是去记那些枯燥的公式，而是理解傅里叶变换的含义及意义。

本文试图不用一个数学公式，采用较为通俗的语言深入浅出的阐述傅里叶变换的含义、意义及方法，希望大家可以更加亲近傅里叶变换，用好傅里叶变换。

伟大的傅里叶、伟大的争议

1807年，39岁的法国数学家傅里叶于法国科学学会上展示了一篇论文（此时不能算发表，该论文要到21年之后发表），论文中有个在当时极具争议的论断：“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”。这篇论文，引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注。

58岁的拉普拉斯赞成傅里叶的观点。71岁的拉格朗日（貌似现在的院士，不用退休）则反对，反对的理由是“正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号” 。屈服于朗格朗日的威望，该论文直到朗格朗日去世后的第15年才得以发表。之后的科学家证明：傅里叶和拉格朗日都是对的。

有限数量的正弦曲线的确无法组合成一个带有棱角的信号，然而，无限数量的正弦曲线的组合从能量的角度可以非常无限逼近带有棱角的信号。

傅里叶变换的定义

后人将傅里叶的论断进行了扩展：满足一定条件的函数可以表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。如何得到这个线性组合呢？这就需要傅里叶变换。

一定条件是什么呢？

这是数学家研究的问题，对于大多数搞电参量测量的工程师而言，不必关注这个问题，因为，电参量测量中遇到的周期信号，都满足这个条件。

这样，在电参量测量分析中，我们可以用更通俗的话来描述傅里叶变换：任意周期信号可以分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波，分解的方法就是傅里叶变换。并且，这些正弦波的频率符合一个规律：是某个频率的整数倍。这个频率，就称为基波频率，而其它频率称为谐波频率。如果谐波的频率是基波频率的N 倍，就称为N 次谐波。直流分量的频率为零，是基波频率的零倍，也可称零次谐波。

傅里叶变换的意义

1. 为什么要进行傅里叶变换呢？

傅里叶变换是描述信号的需要。只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好。信号特征可以用特征值进行量化。

所谓特征值，是指可以定量描述一个波形的某种特征的数值。全面描述一个波形，可能需要多个特征值。比如说：正弦波可以用幅值和频率两个特征值全面描述；方波可以用幅值、频率和占空比三个特征值全面描述（单个周期信号不考虑相位）。

上述特征值，我们可以通过示波器观测实时波形获取，称为时域分析法。事实上，许多人都习惯于时域分析法，想要了解一个信号时，一定会说：“让我看看波形！”可是，除了一些常见的规则信号，许多时候给你波形看，你也看不明白。复杂的不讲，看看下面这个波形，能看出道道吗？

我们能看到的仅仅是一个类似正弦波的波形，其幅值在按照一定的规律变化。如何记载这个波形的信息呢？尤其是量化的记载，很难。

事实上，上述波形采用傅里叶变换后，就是一个50Hz的正弦波上叠加一个40Hz的正弦波，两者幅度不同，40Hz的幅度越大，波动幅度就越大，而波动的频率就是两者的差频10Hz（三相异步电动机叠频温升试验时的电流波形）。

再看一个看似简单的波形：

这个波形有点像正弦波，但是比正弦波尖，俗称“尖顶波”，多见于变压器空载电流输入波形。

我们很难准确定量其与正弦波的区别。采用傅里叶变换后，得到下述频谱（幅值谱）：

主要包括3、5、7、9次谐波，一目了然。

傅里叶变换是一种信号分析方法，让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式（包括幅值谱、相位谱和功率谱）进行准确的、定量的描述。这就是傅里叶变换的主要目的，现在我们知道傅里叶变换的目的了， 剩下的问题——请继续往下看。

2、为什么傅里叶变换要把信号分解为正弦波的组合，而不是方波或三角波？

其实，如果张三能够证明， 任意信号可以分解为方波的组合，其分解的方法不妨称为张三变换；李四能够证明，任意信号可以分解为三角波的组合，其分解的方法也可以称为李四变换。

傅里叶变换是一种信号分析的方法。既然是分析方法，其目的应该是把问题变得更简单，而不是变得更复杂。傅里叶选择了正弦波，没有选择方波或其它波形，正好是其伟大之处！

正弦波有个其它任何波形（恒定的直流波形除外）所不具备的特点：正弦波输入至任何线性系统，出来的还是正弦波，改变的仅仅是幅值和相位。即，正弦波输入至线性系统，不会产生新的频率成分（非线性系统如变频器，就会产生新的频率成分，称为谐波）。用单位幅值的不同频率的正弦波输入至某线性系统，记录其输出正弦波的幅值和频率的关系，就得到该系统的幅频特性，记录输出正弦波的相位和频率的关系，就得到该系统的相频特性。

线性系统是自动控制研究的主要对象，线性系统具备一个特点，多个正弦波叠加后输入至一个系统，输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。也就是说，我们只要研究正弦波的输入输出关系，就可以知道该系统对任意输入信号的响应。这就是傅里叶变换的最主要的意义。

如何求傅里叶变换？

文章开始就说了，具体求傅里叶变换，有成熟的函数可供调用。本文只讲述如何理解傅里叶变换的思想，如果你掌握了这个思想，不用再记公式，也不用去调用什么函数，自己编个简单程序就可实现。就算你不会编程，只要你学过三角函数，至少可以理解傅里叶变换的过程。

傅里叶的伟大之处不在于如何进行傅里叶变换，而是在于给出了“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”这一伟大的论断。知道了这一论断，只要知道正弦函数的基本特性，变换并不难，不要记公式，你也能实现傅里叶变换！

正弦函数有一个特点，叫做正交性，所谓正交性，是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的公共周期内的积分等于零。这是一个非常有用的特性，我们可以利用这个特性设计一个如下的检波器（下称检波器A）：

检波器A由一个乘法器和一个积分器构成，乘法器的一个输入为已知频率f 的单位幅值正弦波（下称标准正弦信号f），另一个输入为待变换的信号。检波器A的输出只与待变换信号中的频率为f 的正弦分量的幅值和相位有关。

待变换信号可能包含频率为f 的分量（下称f 分量），也可能不包含f 分量，总之，可能包含各种频率分量。一句话，待变换信号是未知的，并且可能很复杂！

没关系，我们先看看，待变换信号是否包含f 分量。因为其它频率分量与标准正弦信号f 的乘积的积分都等于零，检波器A 可以当它们不存在！经过检波器A，输出就只剩下与f 分量有关的一个量，这个量等于待变换信号中f 分量与标准正弦信号f 的乘积的积分。

很容易得到的结论是：如果输出不等于零，就说明输入信号包含f 分量！

这个输出是否就是f 分量呢？答案：不一定！正弦波还有下述的特性：

相同频率的正弦波，当相位差为90°时（正交），在一个周期内的乘积的积分值等于零；当相位相同时，积分值达到最大，等于两者的有效值的乘积，当相位相反时，积分值达到最小，等于两者的有效值的乘积取反。

我们知道标准正弦信号f 的初始相位为零，但是，我们不知道f 分量的初始相位。如果f 分量与标准正弦信号f 的相位刚好差90°（或270°），检波器A 输出也等于零。为此，我们再设计一个检波器B：

检波器B 与检波器A 的不同之处在于，检波器B用一个标准余弦信号f（与标准正弦信号A 相位差90°）替代滤波器A 中的标准正弦信号f。如果待变换信号中包含f 分量，检波器A 和检波器B 至少有一个输出不等于零。

利用三角函数的基础知识可以证明，不论f 分量的初始相位如何，检波器A 和检波器B 输出信号的幅值的方和根就等于f 分量的幅值；而检波器B 和检波器A 的幅值的比值等于f 分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f 分量的相位。

我们再把标准正弦信号f 和标准余弦信号f 的频率替换成我们关心的任意频率，就可以得到输入信号的各种频率成分。如果知道输入信号的频率，把这个频率作为基波频率f0，用f0、2f0、3f0 依次替代标准正弦信号f 和标准余弦信号f 的频率，就可以得到输入信号的基波、2次谐波和3次谐波。

这就是傅里叶变换。什么？不会积分？没有关系，实际上，在谐波检测仪、电能质量分析仪等各类电参量测量仪器中，现在用的都是基于交流采样的离散傅里叶变换，在离散信号处理中，累加就是积分！

傅里叶变换就是这么简单，你学会了吗？

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