1的平方加2的平方加到n的平方，1平方加到n平方求和推导

求和公式 \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\) 叫做平方和公式，对于这个公式，有一个经典的推导方法，它源自于数学中著名的勾股定理和等差数列求和公式。

我们可以将每个平方看作是连续正整数的两个相邻整数乘积，即 \(n^2 = (n)(n+1)\)，这个乘积可以拆解为两部分：\(n^2 = (n^2 - n) + (2n)\)。当我们把所有自然数的平方都这样拆开，会发现前半部分是一个等差数列，后半部分也是一个等差数列，但是首项和末项恰好相加为 \(n(n + 1)\)。

将这个过程重复到 \(1^2\)，我们得到：
\(1^2 = (1)(2) = 2(1) - 1^2\)
\(2^2 = (2)(3) = 2(2) - 0^2\)
\(\vdots\)
\(n^2 = 2n - (n - 1)^2\)

将它们相加，所有项的 \(n^2\) 都消失了，只剩下等差数列的和：
\(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = (2(1) - 0^2) + (2(2) - 1^2) + \ldots + (2n - (n - 1)^2)\)

这个求和可以简化为：
\(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = 2(1 + 2 + \ldots + n) - (1^2 + 2^2 + \ldots + (n - 1)^2)\)

我们知道 \(1 + 2 + \ldots + n\) 是一个等差数列求和，其和可以用公式 \(S_n = \frac{n(n + 1)}{2}\) 表示。那么，\(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\) 就是 \(2S_n\) 减去它从 \(1^2\) 到 \((n-1)^2\) 的和，即：
\(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} - \frac{n(n - 1)}{2} \cdot (2)\)

简化后得到：
\(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = n(n + 1) - (n - 1)n = n^2\)

所以，\(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)。

这就是 \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\) 的求和公式。

1平方2平方3平方n平方怎么推

对于 \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\) 的求和公式，我们同样可以使用数学归纳法来推导。

基础步骤：

1. \(n = 1\) 时，\(1^2 = 1\)，显然成立。
2. \(n = 2\) 时，\(1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5\)，也成立。

归纳步骤：

假设当 \(n = k\) 时，\(1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}\) 成立。

现在我们考虑 \(n = k + 1\) 的情况：
\(1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2\)

根据分配律，我们有：
\[\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 = \frac{k(2k^2 + 3k + 1) + 6(k + 1)^2}{6}\]

展开并简化：
\[ = \frac{2k^3 + 3k^2 + k + 6k^2 + 12k + 6}{6}\]
\[ = \frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}\]
\[ = \frac{(k + 1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}\]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\]

这与 \(n = k + 1\) 时的假设 \((k + 1)^2 + \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\) 是一致的。

通过数学归纳法，我们证明了对于任何正整数 \(n\)，\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\) 是成立的。