beaf(beaf什么意思)

讲透初中几何“将军饮马模型”：必须掌握的中考常考题型

　　作为初中几何中的一个非常重要的常见模型——将军饮马模型是中考常规题和压轴题都会考察的一个重要题型，学生必须做到熟练掌握。为提高学习效率，我做了一个非常全面的总结分析，以帮助学生彻底理解该题型蕴含的数学思维。

　　首先我们来看一个例子。大家自己先思考一下，看看能否做出来?

　　例1. 在直角△ABC中，角C=90°，AC=BC=根号2 ，E、F分别为AC、BC上的一个动点，且AE=CF，连接BE、AF，求BE+AF的最小值?

（图1）

　　上例是将军饮马模型的一个典型例子。各位有没有具体的思路?下面我详细介绍一下将军饮马的各种模型，之后解题思路就会逐步清晰。

　　一、 将军饮马的由来：古罗马时期，亚历山大城有一个名叫“海伦”的将军，他比较喜欢数学。有一次，他要从营地A去往营地B，但中途要让他的马儿去河边饮一次水。AB营地均位于河流的同侧，将军就思索在河流的哪个地点饮水，才使得从营地A去营地B的路程最短。

　　二、 原理：1、两点之间直线段最短;2、三角形中两边之和大于第三边;3、三角形中两边只差小于第三边。

　　三、 将军饮马的模型分类

　　1、 直线型——两个线段之和的最小值：

　　如下图，在直线上找到一点P，使得直线外的两个定点A和B到直线的距离最短。并求出PA+PB的最小值?

　　图1中，A和B在直线同侧，做B的关于直线L的对称点B′，连接A B′交于直线L于P点。最短距离就是A B′的距离。

　　图2中，A和B在直线异侧，直接连接A，B，与直线L相交于P点。最短距离就是AB的距离。

　　2、 直线型——两个线段之差的最大值和最小值：

　　如下图3，做AB的延长线交于直线L于P点。则有PA-PB的最大值等于AB。做AB的中垂线交于直线L于P′，可知PA-PB的最小值为0。

　　如下图4，做B点关于直线L的对称点B′，A B′的延长线交于直线L于P点。则有PA-PB=PA-P B′，其最大值等于AB。做A B′的中垂线交于直线L于P′，可知PA-PB=PA-P B′，其最小值为0。

　　3、 直线型——上面模型的变形

　　如下图5中，从A到B点，但必须在直线L上走h的路程也就是MN=h。根据题意要求找出M和N点，使得AM+MN+NB的和最小。

　　解：作B关于直线L的对称点B′，把A点向右平移h个单位到A′。连接A′B′交于直线L于N点，向左平移h个单位，找到M点。则有AM+MN+NB的和最小值=AM+MN+N B′=h+ A′B′即为所求答案。

　　如下图6，从A到B点，但必须过一个宽度为h的桥梁。在什么位置设置路程最短?

　　解：把A点向下平移h个单位到A′，连接 B A′交直线L2于N点，向上平移h个单位，交L1于M点。M点到N点即为所求的桥梁的位置。

　　4、 夹角型——线段和或者多边形周长的最小值

　　如下图7中，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有一个固定点P，求PM+MN的最小值?

　　解：作P点关于直线OA的对称点P′，过P′作直线OB的垂线分别交于OA,OB于M,N点，则有PM+MN的最小值=N P′。

　　如下图8中，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有一个固定点P，求三角形PMN的周长最小值?

　　解：过P点分别做OA,OB的对称点P1,P2，连接P1P2两点分别交于OA,OB与M,N点，则有PM+MN+NP的最小值等于P1P2两点之间的距离。

　　如下图9，，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有2个固定点P和Q，求四边形PMNQ的周长最小值?

　　解：作P点关于直线OA的对称点P′，过Q点作直线OB对称点Q′，连接P′Q′分别交于OA,OB于M,N点。则有四边形PMNQ的周长=PM+MN+NQ+PQ的最小值= P′Q′+PQ。

　　如下图10，已知射线OA和OB上分别有定点P和Q，分别有动点M,N。求PN+NM+MQ的最小值?

　　解：作P点关于直线OB的对称点P′，过Q点作直线OA的对称点Q′，连接P′Q′分别交于OA,OB于M,N点。则有PN+NM+MQ的最小值= P′Q′两点之间的距离。

　　四、 再来回顾文章开篇的那个压轴题。

　　其实该题也是将军饮马题型的应用，必须熟练掌握其规律性，想方设法把相交的两个线段转化成相连的2个线段，则问题迎刃而解。需要解题思路的关注后私信我。

　　再给个例2：在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M,N分别是线段AC,AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少?（彻底理解将军饮马的几个类型后，一眼就能看出答案？）

讲透初中几何“将军饮马模型”：必须掌握的中考常考题型

　　作为初中几何中的一个非常重要的常见模型——将军饮马模型是中考常规题和压轴题都会考察的一个重要题型，学生必须做到熟练掌握。为提高学习效率，我做了一个非常全面的总结分析，以帮助学生彻底理解该题型蕴含的数学思维。

　　首先我们来看一个例子。大家自己先思考一下，看看能否做出来?

　　例1. 在直角△ABC中，角C=90°，AC=BC=根号2 ，E、F分别为AC、BC上的一个动点，且AE=CF，连接BE、AF，求BE+AF的最小值?

（图1）

　　上例是将军饮马模型的一个典型例子。各位有没有具体的思路?下面我详细介绍一下将军饮马的各种模型，之后解题思路就会逐步清晰。

　　一、 将军饮马的由来：古罗马时期，亚历山大城有一个名叫“海伦”的将军，他比较喜欢数学。有一次，他要从营地A去往营地B，但中途要让他的马儿去河边饮一次水。AB营地均位于河流的同侧，将军就思索在河流的哪个地点饮水，才使得从营地A去营地B的路程最短。

　　二、 原理：1、两点之间直线段最短;2、三角形中两边之和大于第三边;3、三角形中两边只差小于第三边。

　　三、 将军饮马的模型分类

　　1、 直线型——两个线段之和的最小值：

　　如下图，在直线上找到一点P，使得直线外的两个定点A和B到直线的距离最短。并求出PA+PB的最小值?

　　图1中，A和B在直线同侧，做B的关于直线L的对称点B′，连接A B′交于直线L于P点。最短距离就是A B′的距离。

　　图2中，A和B在直线异侧，直接连接A，B，与直线L相交于P点。最短距离就是AB的距离。

　　2、 直线型——两个线段之差的最大值和最小值：

　　如下图3，做AB的延长线交于直线L于P点。则有PA-PB的最大值等于AB。做AB的中垂线交于直线L于P′，可知PA-PB的最小值为0。

　　如下图4，做B点关于直线L的对称点B′，A B′的延长线交于直线L于P点。则有PA-PB=PA-P B′，其最大值等于AB。做A B′的中垂线交于直线L于P′，可知PA-PB=PA-P B′，其最小值为0。

　　3、 直线型——上面模型的变形

　　如下图5中，从A到B点，但必须在直线L上走h的路程也就是MN=h。根据题意要求找出M和N点，使得AM+MN+NB的和最小。

　　解：作B关于直线L的对称点B′，把A点向右平移h个单位到A′。连接A′B′交于直线L于N点，向左平移h个单位，找到M点。则有AM+MN+NB的和最小值=AM+MN+N B′=h+ A′B′即为所求答案。

　　如下图6，从A到B点，但必须过一个宽度为h的桥梁。在什么位置设置路程最短?

　　解：把A点向下平移h个单位到A′，连接 B A′交直线L2于N点，向上平移h个单位，交L1于M点。M点到N点即为所求的桥梁的位置。

　　4、 夹角型——线段和或者多边形周长的最小值

　　如下图7中，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有一个固定点P，求PM+MN的最小值?

　　解：作P点关于直线OA的对称点P′，过P′作直线OB的垂线分别交于OA,OB于M,N点，则有PM+MN的最小值=N P′。

　　如下图8中，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有一个固定点P，求三角形PMN的周长最小值?

　　解：过P点分别做OA,OB的对称点P1,P2，连接P1P2两点分别交于OA,OB与M,N点，则有PM+MN+NP的最小值等于P1P2两点之间的距离。

　　如下图9，，已知射线OA和OB上分别有动点M和动点N，夹角内有2个固定点P和Q，求四边形PMNQ的周长最小值?

　　解：作P点关于直线OA的对称点P′，过Q点作直线OB对称点Q′，连接P′Q′分别交于OA,OB于M,N点。则有四边形PMNQ的周长=PM+MN+NQ+PQ的最小值= P′Q′+PQ。

　　如下图10，已知射线OA和OB上分别有定点P和Q，分别有动点M,N。求PN+NM+MQ的最小值?

　　解：作P点关于直线OB的对称点P′，过Q点作直线OA的对称点Q′，连接P′Q′分别交于OA,OB于M,N点。则有PN+NM+MQ的最小值= P′Q′两点之间的距离。

　　四、 再来回顾文章开篇的那个压轴题。

　　其实该题也是将军饮马题型的应用，必须熟练掌握其规律性，想方设法把相交的两个线段转化成相连的2个线段，则问题迎刃而解。需要解题思路的关注后私信我。

　　再给个例2：在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M,N分别是线段AC,AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少?（彻底理解将军饮马的几个类型后，一眼就能看出答案？）

2020−2021学年度九年级第一学期期末数学考试模拟卷

一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．）

1. 在－5, － 2, 1, 3, 0这几个数字中,比－2小的数有（ ）

A． 0 B．1 C．2 D．3

2. 移动互联网已经全面进入人们的日常生活，截至2020年12月，全国5G用户总数达到2.82亿，其中2.82亿用科学记数法表示为（ ）．

A．2.82×104 B．2.82×106 C．2.82×108 D．2.82×109

3．下列计算正确的是（　 　）

　 A．√3+√3=√6 B．a3÷a2=a C．a2•a3=a6 D．（a2b）2 =a2b2

4．将抛物线y=﹣3x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ）

　 A．y=﹣3（x+2）2 B．y=﹣3（x﹣2）2+3

C．y=﹣3（x+2）2+2 D．y=﹣3（x﹣2）2﹣1

5．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m﹣2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（　 　）

　 A．m＞3/4 B．m＞3/4且m≠2 C． ﹣＜m＜2 D．3/4＜m＜2

6．有下列命题：①直径是圆的对称轴；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④相等的圆周角所对的弧相等，其中假命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图4，在直角坐标系中，圆O的半径为1，则直线与圆O的位置关系是（ ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．以上三种情形都有可能

8．定义新运算：a*b=2a﹣b2，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=（ ）．

A．1 B．9 C．-1或9 D．1或 9

9． 如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上．若弧AB=弧CB，弧CD=弧DE, 连结OB，OD，则图中阴影部分的面积为（ ）．

A.π B. 1/2π C.3/2π D.2π

10．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（ ）

　 A． （4，8） B．（5，8） C．（22/5，36/5） D．（24/5，32/5）

11. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F 为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为（ ）

A. 2√17 B. √17 /3 C. √17 /2 D. √17

12. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：

①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）

A． 1个 B． 2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上.）

13． 计算：√12-2 √1/3=．

14. 已知

则

=___▲_______．

15．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是　▲　．

16. 如图，已知在平面直角坐标系x Oy中，O是坐标原点，点A是函数y=1/x(x＜0)图象上一点，OA的延长线交函数y＝k2/x(x＞0，k是不等于0的常数)的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A'，点C关于x轴对称点为C'，连结CC'，交x轴于点B，连结AB，AA'，AC'，若△ABC的面积等于6，则由线段AC、CC'，C'A'，AA'所围成的图形的面积等于 ▲ ．

三、解答题（本题共8小题，共86分.答题请用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（6分）计算：

18.（8分）先化简，再求值：

其中x是 -3，-1，0，1，2，中选取的一个合适的数.

19．(10分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；

乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，0，1；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录

标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．

（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（6分）

（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率.（4分）

20．（10分）某中学初三年级抽取部分学生进行跳绳测试，并规定：每分钟跳90次以下的为不及格；每分钟跳90～99次的为及格；每分钟100～109次的为中等；每分钟110～119次的为良好；

每分钟120次及以上的为优秀.测试结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加这次跳绳测试的共有 ▲ 人；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“中等”部分所对的圆心 角的度数是 ▲ ；

（4）如果该校初三年级的总人数是480人，根据此统计数据，请你估算出该校初三年级跳绳成绩为“良好”以上的人数.

21．(12分）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500．

（1）设李明每月获得利润为（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

22．(12分) 如图，AB是⊙〇的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙〇于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

（1）求证：CF是⊙〇的切线；

（2）若∠F=30°，DF=3，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．

23．（本题14分）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，

AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB

=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN= °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

24．（本题14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．