埃拉托斯特尼(埃拉托斯特尼筛法)

地图的历史③｜亚历山大港与托勒密：古典制图学的巅峰

古希腊的历代大师们利用哲学、地理学、天文学和数学的知识和方法，构建起了最初的制图学框架。亚历山大帝国把古希腊文明推向了顶峰，但它随后又让这个以东地中海为核心的文明开始迅速滑落。而几乎在同一时期，西地中海的古罗马文明取得了长足的发展，正在悄悄孕育一个新的超级帝国。而随着罗马帝国的崛起，西方古典时代的制图学也迎来了一段盛世。位于埃及北部沿海的亚历山大港（Alexandaria，今埃及亚历山大市）见证了这一段辉煌的历史。

测量地球的周长

虽然希腊和罗马的兴起在时间上是一前一后，但从文明发展的角度上看，它们之间并不是改朝换代那样简单的取代和被取代关系，而更多的是一种融合、继承与发展的关系。虽然盛极一时的亚历山大帝国已经灰飞烟灭，但它的势力范围所到之处，希腊文化都扎下了根。公元前246年，从亚历山大帝国出来的埃及托勒密王朝迎来了第三任统治者——托勒密三世。

托勒密三世的雕塑（维基公共）

托勒密三世是一个雄心勃勃的君主，在即位之初，他以通婚的方式吞并了埃及西侧的利比亚昔兰尼加地区，又东征叙利亚，击败了塞琉古帝国，染指地中海的东岸。除了开疆拓土以外，托勒密三世还十分重视文化建设。他对待文化的态度是“本土希腊两手抓”。他一面继续支持埃及本土的法老和祭司传统，以稳固自己的统治基础，另一面又大力推广希腊的哲学和科学。在他的统治下，亚历山大港的图书馆被扩建，科学、哲学和文学得到了经济上的扶持，古希腊文化迎来了最后的一次高光期。地理学和制图学也在托勒密三世的统治时期取得了一系列重要的成就。

托勒密三世时期的埃及托勒密王朝示意图

公元前236年，托勒密三世为扩建中的亚历山大港图书馆指派了一任新的馆长——埃拉托斯特尼（Eratosthenes，前276年－前194年）。埃拉托斯特尼出生于被托勒密三世吞并的昔兰尼加，年轻时在雅典游学。他先拜斯多嘎学派的创始人芝诺（Zeno of Citium）为师，斯多嘎学派强调人与自然的和谐融洽，在拜师芝诺的过程中，埃拉托斯特尼对自然科学产生了兴趣。之后，他又广拜名师，还进入了群星荟萃的柏拉图学院，广泛地学习了哲学、文学、数学和科学。

埃拉托斯特尼的画像（维基公共）

埃拉托斯特尼的学术著作和诗歌被托勒密三世所青睐，托勒密三世先聘请他当王子的老师，随后又将当时世界上最大的知识集散地亚历山大港图书馆交给了他。在担任图书馆馆长期间，埃拉托斯特尼完成了一件空前的壮举：测量地球的周长，而且在测量时，他甚至都没有离开过亚历山大港。他用于评估地球周长的方法完全基于几何计算：地球被想象成一个正球体（在此之前，古希腊的学者们就通过观察月食时产生的阴影，提出了地球是个球体的假说，后来的一些学者认为，这一假说的提出人是毕达哥拉斯），而抵达地面的太阳光线被视为平行线。托勒密埃及境内的阿斯旺位于热带，在夏季的某一天正午，太阳会到达其正上方，此时阿斯旺的建筑没有任何阴影。于是，埃拉托斯特尼假设亚历山大港与阿斯旺处在同一条子午线上，他利用亚历山大港建筑的影子长度，测量了那一天正午这两个城市太阳光入射方向之间的夹角。

埃拉托斯特尼发现这个角度为7°12’，即一个周角（360°）的1/50，也就是说，亚历山大港到阿斯旺的距离，等于地球周长的1/50。他估计这两个城镇之间的距离大约为5000步，因此地球的周长大约在250000步左右。后来他将该值扩展到252000步，从而使其可被60整除。埃拉托斯特尼对地球周长的计算，在方法上是可靠的，但是其正确性取决于他基本测量的准确性，以及其他假设的可靠性。今天的人看来，他测得的两个城市之间阳光入射角的数值非常准确，但可惜的是，这两座城市并不完全处在同一子午线上，虽然它们之间相差只有3°，但扩大到整个地球周长，这会引起不小的误差。再者，亚历山大港和阿斯旺之间的距离是用步长表示的，其换算值的具体大小引起了相当大的争议。

埃拉托斯特尼测量地球周长方法的示意图

虽然埃拉托斯特尼的测量结果不一定准确（比如，同时代的另一位著名制图学家伊巴谷就旗帜鲜明地反对过他的测量方法），但他对地球周长的测算产生了三个深远的影响。首先，人们从此可以通过几何关系，计算出地球上每条纬线的长度。第二，人们发现如果通过角度（经纬度）的形式来表达地点，很容易就能求得地点之间的距离。第三，这次测算彻底激发了当时的人们关于广大未知地区的求知欲。前两个影响随即就体现在了制图学的发展上，在此后制作的许多地图中，不再仅仅只有一横一竖两条参考线，而会加入网格一般的经纬线。就连周长测量法的头号反对者伊巴谷，也承认在地图上添加经纬线是一种有效的做法，并在自己绘制的地图上添加了经纬网格。于是，此后的地图上关于位置、方位和距离等空间信息的表达变得更为科学且直观。为了回应人们对于世界之大的惊呼，埃拉托斯特尼在亚历山大港写就了《地理》一书，在这本著作里，他把给整个地球绘制地图称为ge-graphein，即“用图像来研究地球”或“研究地球的图像”的学科，而这个词正是英文中地理学（geography）一词的来源。

埃拉托斯特尼绘制的拥有经纬线的地图（19世纪复原，维基公共）

托勒密世界地图：古典制图学的集大成者

埃拉托斯特尼此后长期在亚历山大港图书馆工作，他一生还做出了许多别的科学贡献（比如著名的“埃氏素数筛”——一种分辨质数和合数的算法），而且与阿基米德成为了好友。晚年的他在因双目失明而无法继续工作之后，绝食而死。随着他的死去，古希腊的最后一批科学巨匠也开始凋零。在此之前的公元前221年，也就是秦始皇统一中国的那一年，托勒密三世驾崩，希腊文化失去了最后的靠山，其在政治上的优势地位不复存在。在公元前146年，罗马通过布匿战争解除了迦太基的威胁，从而成为了整个地中海政治、军事上的主宰。西方世界的知识分子们离开了原来生活的希腊式王国的中心区，转移到了一些充满活力的新地点，例如别迦摩和罗德岛，尤其是新兴的罗马。

不过，这并没有对制图学产生负面影响，反而推动了希腊人对地图知识的传播和发展。罗马的扩张在理论和实践意义上对于制图学的发展和应用产生了积极的作用。这不仅是由于罗马人的征服极大地扩展了已知世界的范围，以至于人们必须将新的经验知识整合进现有的地理知识和地图里，而且还因为罗马崭新的社会结构，为希腊人创造的制图学经验提供了更大的教育界市场。无论是在罗马共和国时期，还是在罗马帝国的初期，上至国家元首，下到各级官员，许多有影响力的罗马人都推崇希腊文化，也是希腊诸多制图学家的热情赞助者，失去了政治地位的希腊，依旧能持续地输出新的制图技术。在接下来的两三个世纪里，一系列具有希腊血统或受过希腊式教育的大师们，继续为制图学添砖加瓦，直到公元后的2世纪，一位集大成者让古典时期的制图学登峰造极——他就是克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy，约100－约170）。

克劳狄乌斯·托勒密的画像（维基公共）

克劳狄乌斯·托勒密也生活在埃及的亚历山大港。此时的埃及早已换了主人。自从托勒密三世国王去世以后，托勒密王朝在一连串昏君的祸害下陷入了内乱，并于公元前58年沦为了罗马的附庸国。托勒密王朝的末代女王是著名的埃及艳后，她参与了罗马高层的政治斗争，在失败后让毒蛇咬死了自己。从此，托勒密王朝不复存在，埃及成为了罗马帝国的一个行省。

罗马帝国及亚历山大港位置示意图

虽然经历了改朝换代，亚历山大港在文化界的地位却并没有被削弱。亚历山大港图书馆仍旧是一块瑰宝，不仅拥有世界上最大的藏书量（最大时有多达700000册书籍），而且还是亚非欧三大洲学者的聚会场所。历代统治者都将这个图书馆视为全世界的文化圣殿，不仅给与足够的尊重和保护，还为图书馆里的学者们提供食宿和薪酬。因此，这座城市涌入了各行各业的精英人士。

大约在公元150年左右，天文学家和数学家克劳狄乌斯·托勒密来到了亚历山大港，开始在图书馆中寻找材料。关于他的早年生活并无太多的历史记载，不过从他的姓名分析，他应该是出生于埃及本土的罗马帝国居民。他希望撰写一本有关地理学的书，也就是他的传世之作——《地理学指南》（Geographike Hyphegesis），后来简称为《地理学》。这本书里包含了三大洲8000多个地点的经纬度、有关地图投影转换方法的详细说明、天文和数学知识在地理研究中的作用等内容。在他以前，从来没有人写过如此全面的关于地理学的书。

艺术家笔下的亚历山大港图书馆（图片来自纽约州立奥尔巴尼大学）

在整理地理知识的过程中，托勒密阅读了图书馆馆藏的许多罗马军官的笔记。罗马帝国的幅员空前辽阔，连地中海都成为了帝国的内海。当罗马的士兵在欧亚非三大洲的陆地上开疆拓土、海军在地中海乃至大西洋上进行远征时，罗马的一些军官有时会记录下所到之处的山川风土。这其中最吸引托勒密的是老普林尼的笔记。老普林尼曾先后担任罗马帝国的骑兵统领、西班牙总督以及海军司令，征战一生的他到过意大利、北非、西班牙、高卢乃至斯堪的纳维亚。热爱自然的他每到一地，就会记录下该地的地理、气候、生物以及其他自然现象。他死于公元79年的维苏威火山喷发事件，据说是因为他想近距离观察火山，而未来得及撤离被摧毁的斯塔比亚城。

老普林尼的笔记被托勒密反复研读，笔记中的记载丰富却又有些零散，让托勒密感到有些遗憾，这也激发了托勒密将这类笔记汇总并编成地图的兴趣。于是在《地理学》中，托勒密附上了一幅自己根据自己最新整理的地理知识和最新发明的投影法绘制的世界地图。和从前的世界地图相比，托勒密的世界地图覆盖了更为广阔的区域：东到“赛里扎”（Serica）和“秦尼”（Sine），都指“中国”；南至坦桑尼亚；西至大西洋；北至北极圈。

托勒密世界地图的复原图，由Bunbary于19世纪复原

即使用现代的眼光看，托勒密世界地图上欧洲和西亚的海陆轮廓已经比较准确。那是罗马帝国的核心区域，人们对那片区域的地理知识早已熟知。不过，托勒密眼中的世界仍然只是我们今天所知世界的冰山一角。以当时的交通条件，托勒密不可能亲自去考察已知的每一寸土地，更遑论那些帝国之外的未知土地了。在那些远离帝国中心的区域，托勒密地图的可靠程度发生了严重的下降。

为了完成这幅世界地图，托勒密发挥了自己的想象力。这当然不是胡思乱想，而是根据他已经掌握的地理知识并借用了一些天文学的成果，去推测那些尚未被探索过的区域。不过，再有理有据的想象也毕竟是想象，通过想象绘制出来的地图，同我们今天的真实地图相比，就错漏百出了。例如，托勒密把非洲南部和亚洲东南部连成一片，让印度洋成为了另一个地中海。再比如，针对地球的周长，托勒密并没有采纳埃拉托斯特尼的相对准确的测算，而是采纳了叙利亚数学家波希多尼的推算结果。波希多尼计算出的地球周长只有180000步，要明显小于正确的周长，托勒密基于这个错误的周长，用先进的数学方法绘制了他的世界地图，这导致地图最东侧的中国所处的经度远远比中国真实的经度要偏东，图上标注中国的区域已经靠近了现实中北美大陆的西海岸。有学者认为，这份地图在后来诱使哥伦布向西航行寻找亚洲并稀里糊涂抵达美洲的“罪魁祸首”之一。

托勒密的世界地图虽然有局限性，但毕竟是代表了人类认识地球过程中的一次重要的尝试，因此得以被记入历史。不过有点遗憾的是，和他的出身一样，人们对托勒密的结局也知之甚少，甚至弄不清楚这位古典时期制图学的集大成者到底是哪年去世的。根据对他所留著述的分析，他大约是死于公元170年。但是可以肯定的是，他留下的诸多学术成果，尤其是他在地理学和制图学方面的建树，成为了当时及之后的人们认识世界的宝贵资料。在他的带动下，罗马帝国的一大批学者对用地图复制世界产生了浓厚的兴趣，制图学在罗马帝国盛极一时，也成为了罗马帝国学者们的标配技能之一。

地图的历史③｜亚历山大港与托勒密：古典制图学的巅峰

古希腊的历代大师们利用哲学、地理学、天文学和数学的知识和方法，构建起了最初的制图学框架。亚历山大帝国把古希腊文明推向了顶峰，但它随后又让这个以东地中海为核心的文明开始迅速滑落。而几乎在同一时期，西地中海的古罗马文明取得了长足的发展，正在悄悄孕育一个新的超级帝国。而随着罗马帝国的崛起，西方古典时代的制图学也迎来了一段盛世。位于埃及北部沿海的亚历山大港（Alexandaria，今埃及亚历山大市）见证了这一段辉煌的历史。

测量地球的周长

虽然希腊和罗马的兴起在时间上是一前一后，但从文明发展的角度上看，它们之间并不是改朝换代那样简单的取代和被取代关系，而更多的是一种融合、继承与发展的关系。虽然盛极一时的亚历山大帝国已经灰飞烟灭，但它的势力范围所到之处，希腊文化都扎下了根。公元前246年，从亚历山大帝国出来的埃及托勒密王朝迎来了第三任统治者——托勒密三世。

托勒密三世的雕塑（维基公共）

托勒密三世是一个雄心勃勃的君主，在即位之初，他以通婚的方式吞并了埃及西侧的利比亚昔兰尼加地区，又东征叙利亚，击败了塞琉古帝国，染指地中海的东岸。除了开疆拓土以外，托勒密三世还十分重视文化建设。他对待文化的态度是“本土希腊两手抓”。他一面继续支持埃及本土的法老和祭司传统，以稳固自己的统治基础，另一面又大力推广希腊的哲学和科学。在他的统治下，亚历山大港的图书馆被扩建，科学、哲学和文学得到了经济上的扶持，古希腊文化迎来了最后的一次高光期。地理学和制图学也在托勒密三世的统治时期取得了一系列重要的成就。

托勒密三世时期的埃及托勒密王朝示意图

公元前236年，托勒密三世为扩建中的亚历山大港图书馆指派了一任新的馆长——埃拉托斯特尼（Eratosthenes，前276年－前194年）。埃拉托斯特尼出生于被托勒密三世吞并的昔兰尼加，年轻时在雅典游学。他先拜斯多嘎学派的创始人芝诺（Zeno of Citium）为师，斯多嘎学派强调人与自然的和谐融洽，在拜师芝诺的过程中，埃拉托斯特尼对自然科学产生了兴趣。之后，他又广拜名师，还进入了群星荟萃的柏拉图学院，广泛地学习了哲学、文学、数学和科学。

埃拉托斯特尼的画像（维基公共）

埃拉托斯特尼的学术著作和诗歌被托勒密三世所青睐，托勒密三世先聘请他当王子的老师，随后又将当时世界上最大的知识集散地亚历山大港图书馆交给了他。在担任图书馆馆长期间，埃拉托斯特尼完成了一件空前的壮举：测量地球的周长，而且在测量时，他甚至都没有离开过亚历山大港。他用于评估地球周长的方法完全基于几何计算：地球被想象成一个正球体（在此之前，古希腊的学者们就通过观察月食时产生的阴影，提出了地球是个球体的假说，后来的一些学者认为，这一假说的提出人是毕达哥拉斯），而抵达地面的太阳光线被视为平行线。托勒密埃及境内的阿斯旺位于热带，在夏季的某一天正午，太阳会到达其正上方，此时阿斯旺的建筑没有任何阴影。于是，埃拉托斯特尼假设亚历山大港与阿斯旺处在同一条子午线上，他利用亚历山大港建筑的影子长度，测量了那一天正午这两个城市太阳光入射方向之间的夹角。

埃拉托斯特尼发现这个角度为7°12’，即一个周角（360°）的1/50，也就是说，亚历山大港到阿斯旺的距离，等于地球周长的1/50。他估计这两个城镇之间的距离大约为5000步，因此地球的周长大约在250000步左右。后来他将该值扩展到252000步，从而使其可被60整除。埃拉托斯特尼对地球周长的计算，在方法上是可靠的，但是其正确性取决于他基本测量的准确性，以及其他假设的可靠性。今天的人看来，他测得的两个城市之间阳光入射角的数值非常准确，但可惜的是，这两座城市并不完全处在同一子午线上，虽然它们之间相差只有3°，但扩大到整个地球周长，这会引起不小的误差。再者，亚历山大港和阿斯旺之间的距离是用步长表示的，其换算值的具体大小引起了相当大的争议。

埃拉托斯特尼测量地球周长方法的示意图

虽然埃拉托斯特尼的测量结果不一定准确（比如，同时代的另一位著名制图学家伊巴谷就旗帜鲜明地反对过他的测量方法），但他对地球周长的测算产生了三个深远的影响。首先，人们从此可以通过几何关系，计算出地球上每条纬线的长度。第二，人们发现如果通过角度（经纬度）的形式来表达地点，很容易就能求得地点之间的距离。第三，这次测算彻底激发了当时的人们关于广大未知地区的求知欲。前两个影响随即就体现在了制图学的发展上，在此后制作的许多地图中，不再仅仅只有一横一竖两条参考线，而会加入网格一般的经纬线。就连周长测量法的头号反对者伊巴谷，也承认在地图上添加经纬线是一种有效的做法，并在自己绘制的地图上添加了经纬网格。于是，此后的地图上关于位置、方位和距离等空间信息的表达变得更为科学且直观。为了回应人们对于世界之大的惊呼，埃拉托斯特尼在亚历山大港写就了《地理》一书，在这本著作里，他把给整个地球绘制地图称为ge-graphein，即“用图像来研究地球”或“研究地球的图像”的学科，而这个词正是英文中地理学（geography）一词的来源。

埃拉托斯特尼绘制的拥有经纬线的地图（19世纪复原，维基公共）

托勒密世界地图：古典制图学的集大成者

埃拉托斯特尼此后长期在亚历山大港图书馆工作，他一生还做出了许多别的科学贡献（比如著名的“埃氏素数筛”——一种分辨质数和合数的算法），而且与阿基米德成为了好友。晚年的他在因双目失明而无法继续工作之后，绝食而死。随着他的死去，古希腊的最后一批科学巨匠也开始凋零。在此之前的公元前221年，也就是秦始皇统一中国的那一年，托勒密三世驾崩，希腊文化失去了最后的靠山，其在政治上的优势地位不复存在。在公元前146年，罗马通过布匿战争解除了迦太基的威胁，从而成为了整个地中海政治、军事上的主宰。西方世界的知识分子们离开了原来生活的希腊式王国的中心区，转移到了一些充满活力的新地点，例如别迦摩和罗德岛，尤其是新兴的罗马。

不过，这并没有对制图学产生负面影响，反而推动了希腊人对地图知识的传播和发展。罗马的扩张在理论和实践意义上对于制图学的发展和应用产生了积极的作用。这不仅是由于罗马人的征服极大地扩展了已知世界的范围，以至于人们必须将新的经验知识整合进现有的地理知识和地图里，而且还因为罗马崭新的社会结构，为希腊人创造的制图学经验提供了更大的教育界市场。无论是在罗马共和国时期，还是在罗马帝国的初期，上至国家元首，下到各级官员，许多有影响力的罗马人都推崇希腊文化，也是希腊诸多制图学家的热情赞助者，失去了政治地位的希腊，依旧能持续地输出新的制图技术。在接下来的两三个世纪里，一系列具有希腊血统或受过希腊式教育的大师们，继续为制图学添砖加瓦，直到公元后的2世纪，一位集大成者让古典时期的制图学登峰造极——他就是克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy，约100－约170）。

克劳狄乌斯·托勒密的画像（维基公共）

克劳狄乌斯·托勒密也生活在埃及的亚历山大港。此时的埃及早已换了主人。自从托勒密三世国王去世以后，托勒密王朝在一连串昏君的祸害下陷入了内乱，并于公元前58年沦为了罗马的附庸国。托勒密王朝的末代女王是著名的埃及艳后，她参与了罗马高层的政治斗争，在失败后让毒蛇咬死了自己。从此，托勒密王朝不复存在，埃及成为了罗马帝国的一个行省。

罗马帝国及亚历山大港位置示意图

虽然经历了改朝换代，亚历山大港在文化界的地位却并没有被削弱。亚历山大港图书馆仍旧是一块瑰宝，不仅拥有世界上最大的藏书量（最大时有多达700000册书籍），而且还是亚非欧三大洲学者的聚会场所。历代统治者都将这个图书馆视为全世界的文化圣殿，不仅给与足够的尊重和保护，还为图书馆里的学者们提供食宿和薪酬。因此，这座城市涌入了各行各业的精英人士。

大约在公元150年左右，天文学家和数学家克劳狄乌斯·托勒密来到了亚历山大港，开始在图书馆中寻找材料。关于他的早年生活并无太多的历史记载，不过从他的姓名分析，他应该是出生于埃及本土的罗马帝国居民。他希望撰写一本有关地理学的书，也就是他的传世之作——《地理学指南》（Geographike Hyphegesis），后来简称为《地理学》。这本书里包含了三大洲8000多个地点的经纬度、有关地图投影转换方法的详细说明、天文和数学知识在地理研究中的作用等内容。在他以前，从来没有人写过如此全面的关于地理学的书。

艺术家笔下的亚历山大港图书馆（图片来自纽约州立奥尔巴尼大学）

在整理地理知识的过程中，托勒密阅读了图书馆馆藏的许多罗马军官的笔记。罗马帝国的幅员空前辽阔，连地中海都成为了帝国的内海。当罗马的士兵在欧亚非三大洲的陆地上开疆拓土、海军在地中海乃至大西洋上进行远征时，罗马的一些军官有时会记录下所到之处的山川风土。这其中最吸引托勒密的是老普林尼的笔记。老普林尼曾先后担任罗马帝国的骑兵统领、西班牙总督以及海军司令，征战一生的他到过意大利、北非、西班牙、高卢乃至斯堪的纳维亚。热爱自然的他每到一地，就会记录下该地的地理、气候、生物以及其他自然现象。他死于公元79年的维苏威火山喷发事件，据说是因为他想近距离观察火山，而未来得及撤离被摧毁的斯塔比亚城。

老普林尼的笔记被托勒密反复研读，笔记中的记载丰富却又有些零散，让托勒密感到有些遗憾，这也激发了托勒密将这类笔记汇总并编成地图的兴趣。于是在《地理学》中，托勒密附上了一幅自己根据自己最新整理的地理知识和最新发明的投影法绘制的世界地图。和从前的世界地图相比，托勒密的世界地图覆盖了更为广阔的区域：东到“赛里扎”（Serica）和“秦尼”（Sine），都指“中国”；南至坦桑尼亚；西至大西洋；北至北极圈。

托勒密世界地图的复原图，由Bunbary于19世纪复原

即使用现代的眼光看，托勒密世界地图上欧洲和西亚的海陆轮廓已经比较准确。那是罗马帝国的核心区域，人们对那片区域的地理知识早已熟知。不过，托勒密眼中的世界仍然只是我们今天所知世界的冰山一角。以当时的交通条件，托勒密不可能亲自去考察已知的每一寸土地，更遑论那些帝国之外的未知土地了。在那些远离帝国中心的区域，托勒密地图的可靠程度发生了严重的下降。

为了完成这幅世界地图，托勒密发挥了自己的想象力。这当然不是胡思乱想，而是根据他已经掌握的地理知识并借用了一些天文学的成果，去推测那些尚未被探索过的区域。不过，再有理有据的想象也毕竟是想象，通过想象绘制出来的地图，同我们今天的真实地图相比，就错漏百出了。例如，托勒密把非洲南部和亚洲东南部连成一片，让印度洋成为了另一个地中海。再比如，针对地球的周长，托勒密并没有采纳埃拉托斯特尼的相对准确的测算，而是采纳了叙利亚数学家波希多尼的推算结果。波希多尼计算出的地球周长只有180000步，要明显小于正确的周长，托勒密基于这个错误的周长，用先进的数学方法绘制了他的世界地图，这导致地图最东侧的中国所处的经度远远比中国真实的经度要偏东，图上标注中国的区域已经靠近了现实中北美大陆的西海岸。有学者认为，这份地图在后来诱使哥伦布向西航行寻找亚洲并稀里糊涂抵达美洲的“罪魁祸首”之一。

托勒密的世界地图虽然有局限性，但毕竟是代表了人类认识地球过程中的一次重要的尝试，因此得以被记入历史。不过有点遗憾的是，和他的出身一样，人们对托勒密的结局也知之甚少，甚至弄不清楚这位古典时期制图学的集大成者到底是哪年去世的。根据对他所留著述的分析，他大约是死于公元170年。但是可以肯定的是，他留下的诸多学术成果，尤其是他在地理学和制图学方面的建树，成为了当时及之后的人们认识世界的宝贵资料。在他的带动下，罗马帝国的一大批学者对用地图复制世界产生了浓厚的兴趣，制图学在罗马帝国盛极一时，也成为了罗马帝国学者们的标配技能之一。

地图的历史③｜亚历山大港与托勒密：古典制图学的巅峰

古希腊的历代大师们利用哲学、地理学、天文学和数学的知识和方法，构建起了最初的制图学框架。亚历山大帝国把古希腊文明推向了顶峰，但它随后又让这个以东地中海为核心的文明开始迅速滑落。而几乎在同一时期，西地中海的古罗马文明取得了长足的发展，正在悄悄孕育一个新的超级帝国。而随着罗马帝国的崛起，西方古典时代的制图学也迎来了一段盛世。位于埃及北部沿海的亚历山大港（Alexandaria，今埃及亚历山大市）见证了这一段辉煌的历史。

测量地球的周长

虽然希腊和罗马的兴起在时间上是一前一后，但从文明发展的角度上看，它们之间并不是改朝换代那样简单的取代和被取代关系，而更多的是一种融合、继承与发展的关系。虽然盛极一时的亚历山大帝国已经灰飞烟灭，但它的势力范围所到之处，希腊文化都扎下了根。公元前246年，从亚历山大帝国出来的埃及托勒密王朝迎来了第三任统治者——托勒密三世。

托勒密三世的雕塑（维基公共）

托勒密三世是一个雄心勃勃的君主，在即位之初，他以通婚的方式吞并了埃及西侧的利比亚昔兰尼加地区，又东征叙利亚，击败了塞琉古帝国，染指地中海的东岸。除了开疆拓土以外，托勒密三世还十分重视文化建设。他对待文化的态度是“本土希腊两手抓”。他一面继续支持埃及本土的法老和祭司传统，以稳固自己的统治基础，另一面又大力推广希腊的哲学和科学。在他的统治下，亚历山大港的图书馆被扩建，科学、哲学和文学得到了经济上的扶持，古希腊文化迎来了最后的一次高光期。地理学和制图学也在托勒密三世的统治时期取得了一系列重要的成就。

托勒密三世时期的埃及托勒密王朝示意图

公元前236年，托勒密三世为扩建中的亚历山大港图书馆指派了一任新的馆长——埃拉托斯特尼（Eratosthenes，前276年－前194年）。埃拉托斯特尼出生于被托勒密三世吞并的昔兰尼加，年轻时在雅典游学。他先拜斯多嘎学派的创始人芝诺（Zeno of Citium）为师，斯多嘎学派强调人与自然的和谐融洽，在拜师芝诺的过程中，埃拉托斯特尼对自然科学产生了兴趣。之后，他又广拜名师，还进入了群星荟萃的柏拉图学院，广泛地学习了哲学、文学、数学和科学。

埃拉托斯特尼的画像（维基公共）

埃拉托斯特尼的学术著作和诗歌被托勒密三世所青睐，托勒密三世先聘请他当王子的老师，随后又将当时世界上最大的知识集散地亚历山大港图书馆交给了他。在担任图书馆馆长期间，埃拉托斯特尼完成了一件空前的壮举：测量地球的周长，而且在测量时，他甚至都没有离开过亚历山大港。他用于评估地球周长的方法完全基于几何计算：地球被想象成一个正球体（在此之前，古希腊的学者们就通过观察月食时产生的阴影，提出了地球是个球体的假说，后来的一些学者认为，这一假说的提出人是毕达哥拉斯），而抵达地面的太阳光线被视为平行线。托勒密埃及境内的阿斯旺位于热带，在夏季的某一天正午，太阳会到达其正上方，此时阿斯旺的建筑没有任何阴影。于是，埃拉托斯特尼假设亚历山大港与阿斯旺处在同一条子午线上，他利用亚历山大港建筑的影子长度，测量了那一天正午这两个城市太阳光入射方向之间的夹角。

埃拉托斯特尼发现这个角度为7°12’，即一个周角（360°）的1/50，也就是说，亚历山大港到阿斯旺的距离，等于地球周长的1/50。他估计这两个城镇之间的距离大约为5000步，因此地球的周长大约在250000步左右。后来他将该值扩展到252000步，从而使其可被60整除。埃拉托斯特尼对地球周长的计算，在方法上是可靠的，但是其正确性取决于他基本测量的准确性，以及其他假设的可靠性。今天的人看来，他测得的两个城市之间阳光入射角的数值非常准确，但可惜的是，这两座城市并不完全处在同一子午线上，虽然它们之间相差只有3°，但扩大到整个地球周长，这会引起不小的误差。再者，亚历山大港和阿斯旺之间的距离是用步长表示的，其换算值的具体大小引起了相当大的争议。

埃拉托斯特尼测量地球周长方法的示意图

虽然埃拉托斯特尼的测量结果不一定准确（比如，同时代的另一位著名制图学家伊巴谷就旗帜鲜明地反对过他的测量方法），但他对地球周长的测算产生了三个深远的影响。首先，人们从此可以通过几何关系，计算出地球上每条纬线的长度。第二，人们发现如果通过角度（经纬度）的形式来表达地点，很容易就能求得地点之间的距离。第三，这次测算彻底激发了当时的人们关于广大未知地区的求知欲。前两个影响随即就体现在了制图学的发展上，在此后制作的许多地图中，不再仅仅只有一横一竖两条参考线，而会加入网格一般的经纬线。就连周长测量法的头号反对者伊巴谷，也承认在地图上添加经纬线是一种有效的做法，并在自己绘制的地图上添加了经纬网格。于是，此后的地图上关于位置、方位和距离等空间信息的表达变得更为科学且直观。为了回应人们对于世界之大的惊呼，埃拉托斯特尼在亚历山大港写就了《地理》一书，在这本著作里，他把给整个地球绘制地图称为ge-graphein，即“用图像来研究地球”或“研究地球的图像”的学科，而这个词正是英文中地理学（geography）一词的来源。

埃拉托斯特尼绘制的拥有经纬线的地图（19世纪复原，维基公共）

托勒密世界地图：古典制图学的集大成者

埃拉托斯特尼此后长期在亚历山大港图书馆工作，他一生还做出了许多别的科学贡献（比如著名的“埃氏素数筛”——一种分辨质数和合数的算法），而且与阿基米德成为了好友。晚年的他在因双目失明而无法继续工作之后，绝食而死。随着他的死去，古希腊的最后一批科学巨匠也开始凋零。在此之前的公元前221年，也就是秦始皇统一中国的那一年，托勒密三世驾崩，希腊文化失去了最后的靠山，其在政治上的优势地位不复存在。在公元前146年，罗马通过布匿战争解除了迦太基的威胁，从而成为了整个地中海政治、军事上的主宰。西方世界的知识分子们离开了原来生活的希腊式王国的中心区，转移到了一些充满活力的新地点，例如别迦摩和罗德岛，尤其是新兴的罗马。

不过，这并没有对制图学产生负面影响，反而推动了希腊人对地图知识的传播和发展。罗马的扩张在理论和实践意义上对于制图学的发展和应用产生了积极的作用。这不仅是由于罗马人的征服极大地扩展了已知世界的范围，以至于人们必须将新的经验知识整合进现有的地理知识和地图里，而且还因为罗马崭新的社会结构，为希腊人创造的制图学经验提供了更大的教育界市场。无论是在罗马共和国时期，还是在罗马帝国的初期，上至国家元首，下到各级官员，许多有影响力的罗马人都推崇希腊文化，也是希腊诸多制图学家的热情赞助者，失去了政治地位的希腊，依旧能持续地输出新的制图技术。在接下来的两三个世纪里，一系列具有希腊血统或受过希腊式教育的大师们，继续为制图学添砖加瓦，直到公元后的2世纪，一位集大成者让古典时期的制图学登峰造极——他就是克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy，约100－约170）。

克劳狄乌斯·托勒密的画像（维基公共）

克劳狄乌斯·托勒密也生活在埃及的亚历山大港。此时的埃及早已换了主人。自从托勒密三世国王去世以后，托勒密王朝在一连串昏君的祸害下陷入了内乱，并于公元前58年沦为了罗马的附庸国。托勒密王朝的末代女王是著名的埃及艳后，她参与了罗马高层的政治斗争，在失败后让毒蛇咬死了自己。从此，托勒密王朝不复存在，埃及成为了罗马帝国的一个行省。

罗马帝国及亚历山大港位置示意图

虽然经历了改朝换代，亚历山大港在文化界的地位却并没有被削弱。亚历山大港图书馆仍旧是一块瑰宝，不仅拥有世界上最大的藏书量（最大时有多达700000册书籍），而且还是亚非欧三大洲学者的聚会场所。历代统治者都将这个图书馆视为全世界的文化圣殿，不仅给与足够的尊重和保护，还为图书馆里的学者们提供食宿和薪酬。因此，这座城市涌入了各行各业的精英人士。

大约在公元150年左右，天文学家和数学家克劳狄乌斯·托勒密来到了亚历山大港，开始在图书馆中寻找材料。关于他的早年生活并无太多的历史记载，不过从他的姓名分析，他应该是出生于埃及本土的罗马帝国居民。他希望撰写一本有关地理学的书，也就是他的传世之作——《地理学指南》（Geographike Hyphegesis），后来简称为《地理学》。这本书里包含了三大洲8000多个地点的经纬度、有关地图投影转换方法的详细说明、天文和数学知识在地理研究中的作用等内容。在他以前，从来没有人写过如此全面的关于地理学的书。

艺术家笔下的亚历山大港图书馆（图片来自纽约州立奥尔巴尼大学）

在整理地理知识的过程中，托勒密阅读了图书馆馆藏的许多罗马军官的笔记。罗马帝国的幅员空前辽阔，连地中海都成为了帝国的内海。当罗马的士兵在欧亚非三大洲的陆地上开疆拓土、海军在地中海乃至大西洋上进行远征时，罗马的一些军官有时会记录下所到之处的山川风土。这其中最吸引托勒密的是老普林尼的笔记。老普林尼曾先后担任罗马帝国的骑兵统领、西班牙总督以及海军司令，征战一生的他到过意大利、北非、西班牙、高卢乃至斯堪的纳维亚。热爱自然的他每到一地，就会记录下该地的地理、气候、生物以及其他自然现象。他死于公元79年的维苏威火山喷发事件，据说是因为他想近距离观察火山，而未来得及撤离被摧毁的斯塔比亚城。

老普林尼的笔记被托勒密反复研读，笔记中的记载丰富却又有些零散，让托勒密感到有些遗憾，这也激发了托勒密将这类笔记汇总并编成地图的兴趣。于是在《地理学》中，托勒密附上了一幅自己根据自己最新整理的地理知识和最新发明的投影法绘制的世界地图。和从前的世界地图相比，托勒密的世界地图覆盖了更为广阔的区域：东到“赛里扎”（Serica）和“秦尼”（Sine），都指“中国”；南至坦桑尼亚；西至大西洋；北至北极圈。

托勒密世界地图的复原图，由Bunbary于19世纪复原

即使用现代的眼光看，托勒密世界地图上欧洲和西亚的海陆轮廓已经比较准确。那是罗马帝国的核心区域，人们对那片区域的地理知识早已熟知。不过，托勒密眼中的世界仍然只是我们今天所知世界的冰山一角。以当时的交通条件，托勒密不可能亲自去考察已知的每一寸土地，更遑论那些帝国之外的未知土地了。在那些远离帝国中心的区域，托勒密地图的可靠程度发生了严重的下降。

为了完成这幅世界地图，托勒密发挥了自己的想象力。这当然不是胡思乱想，而是根据他已经掌握的地理知识并借用了一些天文学的成果，去推测那些尚未被探索过的区域。不过，再有理有据的想象也毕竟是想象，通过想象绘制出来的地图，同我们今天的真实地图相比，就错漏百出了。例如，托勒密把非洲南部和亚洲东南部连成一片，让印度洋成为了另一个地中海。再比如，针对地球的周长，托勒密并没有采纳埃拉托斯特尼的相对准确的测算，而是采纳了叙利亚数学家波希多尼的推算结果。波希多尼计算出的地球周长只有180000步，要明显小于正确的周长，托勒密基于这个错误的周长，用先进的数学方法绘制了他的世界地图，这导致地图最东侧的中国所处的经度远远比中国真实的经度要偏东，图上标注中国的区域已经靠近了现实中北美大陆的西海岸。有学者认为，这份地图在后来诱使哥伦布向西航行寻找亚洲并稀里糊涂抵达美洲的“罪魁祸首”之一。

托勒密的世界地图虽然有局限性，但毕竟是代表了人类认识地球过程中的一次重要的尝试，因此得以被记入历史。不过有点遗憾的是，和他的出身一样，人们对托勒密的结局也知之甚少，甚至弄不清楚这位古典时期制图学的集大成者到底是哪年去世的。根据对他所留著述的分析，他大约是死于公元170年。但是可以肯定的是，他留下的诸多学术成果，尤其是他在地理学和制图学方面的建树，成为了当时及之后的人们认识世界的宝贵资料。在他的带动下，罗马帝国的一大批学者对用地图复制世界产生了浓厚的兴趣，制图学在罗马帝国盛极一时，也成为了罗马帝国学者们的标配技能之一。

海韵教育丨数学阅读：最早测量地球周长的人是谁？

　　我们居住的地球，周长是多少呢？令人吃惊的是，早在距今大约2000年以前，就已经有人测量出了地球的周长。这个人曾经是亚历山大港图书馆的馆长。那么，他是谁呢？

　　最早测量地球周长的人，是生活在距今约2000年前的埃拉托斯特尼。有一年夏天，埃拉托斯特尼在阿斯旺的乡村旅行，无意中向水井中看去。当时正好是夏至，太阳光直射入水井中，即使将木棍竖直伸入井中，木棍也没有影子。 那么，埃拉托斯特尼是怎样测量出地球周长的呢？首先，在距离阿斯旺 925 千米的亚历山大港，埃拉托斯特尼选择夏至的时候将木棍竖直伸入水井中。然后，他测量出木棍与影子之间的角度，大约为7°2’。

　　如果地球的周长是★千米的话， ★ x7.2/360=925 千米。 通过这个算式，计算出地球的周长就是 46250 千米。实际上，地球的周长大约是 40008 千米，因此埃拉托斯特尼的测量算是相当精确的了。

欧拉发明的“金钥匙”，在黎曼这里变成了“核武器”

1735年，28岁的欧拉解决了一个百年难题，巴塞尔问题。从当时一大堆著名数学家中脱颖而出，牛顿，莱布尼茨，伯努利家族。。。都倒在这个问题上。欧拉一战成名，并且一发不可收拾，直到他完全统治了18世纪的欧洲数学界。我们来简单回顾一下巴塞尔级数的表现形式。

巴塞尔级数

k=2时，ζ级数的和

这个结果是怎么得来的，之前的欧拉神作系列已经讲解得非常细致了。不太熟悉求解过程的同学们都可以去瞧瞧。这是一个了不起的结论，欧拉自然想到，既然这里可以取到自然数的平方倒数和，那假如就是求全体自然数的倒数和呢？

调和级数

这就是大名鼎鼎的调和级数，这个级数是发散的，既然发散的，求和就不可能了，但是仍然有性质可挖。欧拉对于这个数列做的工作是，他得到了这个级数的一个非常好的调和级数的近似函数。

调和级数估值函数

这里的γ是欧拉常数，约等于0.57721566490153286，于是人们以后再去求解调和级数的前n项和时，就完全不必一项一项累加，直接用这个非常精准的估值公式即可。欧拉在研究了这两个级数之后，开始了更一般情况的考虑。

这里的k是自然数，如果k=1时，上面的式子是调和级数，k=2时，就是巴塞尔问题。事实上，欧拉可以选择继续让k=3,4,5...一直尝试探究下去。但是这仿佛有点机械式处理的意思，欧拉可不干。欧拉及时调整了研究方向，并最终得到了一个堪称金钥匙的法宝。

欧拉：我又来了

我们重现一下欧拉的工作：

金钥匙第一步推导

到了(5)式这里，我们暂且缓一缓，先来分析一下每步的意义。从(1)跳转到(2)式，欧拉“故意”地给(1)式左边增加一个负重，我们仿佛难以揣测欧拉做这一步的出发点在哪儿。但是这样处理之后，用(1)式-(2)式之后，我们发现，(3)式里，已经没有了偶数项，只有奇数项。我们也可以这么理解，这么做，将所有2的倍数项都隐藏起来了。接下来的(3)-(4)之后，我们就可以在(5)右边更加清晰地发现，这里已经既没有2的倍数，也没有3的倍数了。

如果这两步的过程我们能够接受，那么(5)式，再进行类似的步骤之后，我们会发现，式子的右边会逐渐剔除，2,3,5,7...这些数字的倍数项。如果给你全体自然数，让你逐步剔除2,3,5,7。。。这些数字的倍数，那么剩下的数字还会是什么？当然就只会留下素数了！

古希腊数学家埃拉托斯特尼

在这个数字被层层淘汰的过程像极了用筛子一遍遍过滤掉杂质，最后得到结晶的过程。在素数研究领域，有个古老又很有效的方法——埃拉托斯特尼筛法。开创者是古希腊数学家埃拉托斯特尼，他也是有史以来第一个测量出地球直径的数学家。这个简单又有效找出一定范围内素数的方法，其实大家可能都已经遇到过了，这也是计算机编程初学者必须要掌握的方法了。

筛法的定义是：

给出要筛数值的范围n，找出根号n以内的素数p1,p2,p3...

先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......,筛到最后留下数字就是我们要的素数了。

筛法的具体操作

好了，回到继续欧拉的工作上来。我们继续(5)式以后的过程。

金钥匙第二步推导

请注意，这里的(7)式还不完全就是欧拉得到的金钥匙。我们检查一下上面的推导过程，虽然这里的k是从1,2延伸得来的，我们理所应当地认为后面的k也应该都是自然数。然而纵观这个公式的推导过程，我们仿佛没有用到k是自然数这个天然的限制条件，仅仅只是把k当做一个数字进行而已。欧拉显然也注意到了这点，1737年，也就是在解决了巴塞尔级数问题两年之后，欧拉将这里的k改写成任意复数s，并且s的实部，即Re(s)>1,上式成立。于是金钥匙终于现身，也就是：

金钥匙真身

这个公式也叫欧拉乘积公式，是以欧拉命名的公式里相当出彩的一支。

既然这个公式号称是金钥匙，那我们就来小试牛刀来检验一下成色。我们从全新的角度来证明“素数有无穷多个”这个经典的问题。

金钥匙证明素数有无穷多个

这里，我们只是简单地使用了一下欧拉乘积公式在s=1的特殊情况，就解决了这个经典的素数问题。我们都有个明显的印象，很多跟素数相关的，看似平淡无奇的猜想，动不动就是几百年都没有进展。欧拉乘积公式好不容易也带上了素数的结论，不去攻克素数方面的超级难题，那实在是太不应该了。上面的方法来证明素数无穷多个，其实并不比欧几里得的方法复杂多少，这些推导过程同样优美典雅。

欧拉乘积公式堪称金钥匙

黎曼接过了欧拉的这个闪闪的金钥匙，并且用自己的技术把这个工具推到极致。1859年，黎曼发表了一篇惊世骇俗的论文《论小于某给定值的素数的个数》，在这个仅仅8页里，黎曼重新研究了关于ζ(s)级数的性质，并且将古往今来关于素数个数的研究推到顶峰，一百五十多年过去了，仍然是顶峰！

逼格最高的黎曼大神

如果说上面的素数无穷多个的证明是小打小闹，那黎曼的在欧拉的基础上扩展的工作就是专业上的绝对实力了。人们想象不到，素数分布的全部奥秘会隐藏在这个极不起眼的级数中。黎曼的估计函数在大范围内与真实素数个数的吻合度简直令人咋舌！

黎曼J(x)与真实素数个数函数π(x)的吻合情况

高斯每次只把他认为成为一家成熟的结论发表出来，并且会尽力地隐藏他得到成果的路径。有人说高斯就像是一只走完沙丘就用尾巴扫平痕迹的老狐狸，那黎曼就是发表什么都像是从天而降，你不但看不到他得出这个结论的手法，甚至，你压根不能理解这样的结论怎么会出现在那个时代。

黎曼猜想

且不说他的研究领域基本上都没啥关系，黎曼几何，素数分布，黎曼积分。。。就只说在那篇8页的论文里用到的许许多多类似“明显地”，“显而易见”，“容易得到”这些词汇。这些很多在他看来根本不值得在论文里出现的重要推导过程被他一带而过，但是他过高地认为了同时代乃至后世的数学家能够达到的水平。

论在数学界的逼格，高斯输给黎曼

论文一开始发布的时候，人们那被这些“显而易见”坑得不轻。开始怀疑黎曼是不是真的已经把研究进行到了那种天人合一的境界，也许只是在跟世人开个玩笑。但是他的研究太有吸引力了，无数的数学家沿着黎曼开创的道路艰苦摸索，每隔几十年，人们都会发现当年黎曼用过某些“显而易见”是对的，这绝不是随手所得，而是经过无比详尽的推导之后，才能把最精华的内容留在论文里。再到后来，人们发现了黎曼留下的残存的手稿，甚至在黎曼去世几十年之后，人们重新整理了他的手稿，并且从中出土了非常有效的求非平凡零点的公式。至此，黎曼跻身人类最伟大的数学家前五是毫无疑义的了。

黎曼旷世论文手稿

欧拉从来都不是那种解决一个难题就放在一边的快，而是一个通过表面的研究来触及问题的根本。就像他发现的金钥匙工具一样，到了黎曼这里变成了核武器，成就了人类素数研究领域的最高成就。