隔板法的三种题型(数量技巧攻克排列组合)

隔板法是一个常用于解决排列组合问题的数学方法。通过将一组元素分成若干部分，并用隔板分割这些部分，可以将一个复杂的问题简化为若干个简单的问题，从而更加容易求解。本文将介绍隔板法的三种常见题型，并分享一些攻克排列组合问题的数量技巧。

首先，我们来看第一种隔板法题型：将 n 个不同的元素分成 k 个部分，要求每个部分至少包含一个元素的方案数。这种题型常见于将 n 个不同的球分成若干组的问题。我们可以在 n-1 个间隔中插入 k-1 个隔板，将 n 个元素分成 k 个部分。例如，将 5 个不同的球分成 3 组，就可以用 4 个间隔和 2 个隔板来表示：。

O | OO | O。

这种方案的数量可以表示为组合数 C(n-1, k-1)。

第二种隔板法题型是将 n 个相同的元素分成 k 个部分的方案数。这种题型常见于将相同的物品装进不同的袋子或者箱子的问题。在这种情况下，我们可以将 n 个相同的元素看作 n 个球，将 k-1 个隔板插入其中，得到 k 个部分。例如，将 5 个相同的球放进 3 个袋子中，可以用 2 个隔板和 5 个球来表示：。

OO|OOO|O。

这种方案的数量可以表示为组合数 C(n+k-1, k-1)。

第三种隔板法题型是将 n 个相同的元素分成 k 个部分，要求每个部分的大小不超过 m 的方案数。这种题型常见于将相同的物品装进不同的袋子或者箱子的问题，但是每个袋子或者箱子的容量有限制。在这种情况下，我们可以将 n 个相同的元素看作 n 个球，将 k-1 个隔板插入其中，得到 k 个部分。但是，每个部分的大小不能超过 m，这意味着每个部分最多包含 m 个球。因此，我们可以将每个部分看作一个字符串，由某个小写字母重复 m 次构成。例如，将 5 个相同的球放进 3 个袋子中，每个袋子容量不超过 2，可以用以下的字符串表示：。

O|O||O。

其中，第一个部分包含 1 个球，第二个部分包含 2 个球，第三个部分为空。这种方案的数量可以表示为组合数的和，即。

C(n+k-1, k-1) - C(n-km+k-1, k-1) + C(n-2km+k-1, k-1) - ... + (-1)^{m+1} C(n-mkm+k-1, k-1)。

其中，符号“|”表示字符串中的一个位置，符号“||”表示隔板。这个公式的意义是，首先计算分成 k 个部分的所有方案数，然后减去其中有一个部分大小超过 m 的方案数，再加上有两个部分大小超过 m 的方案数，以此类推。这个公式的推导可以参考数学分析经典教材《离散数学及其应用》。

除了隔板法，我们还可以使用一些数量技巧来解决排列组合问题。这里给出两个例子。

第一个例子是求解一串数列中，有多少个子序列的和是 0。如果我们将数列中所有正数的符号取反，得到的数列中，任意一个子序列的和就变成了一个负数。因此，我们可以通过将数列中所有正数的符号取反，将求解正数子序列和为 0 的问题，转化为求解负数子序列和为 0 的问题。这个技巧可以用于简化一些复杂的数论问题。

第二个例子是求解一个有根树中，有多少个节点到根节点的距离是奇数。我们可以将所有偶数深度的节点删除，得到的是一棵以原来的奇数深度节点为根节点的新树。因此，我们只需要求解原来的树中，有多少个节点到新树根节点的距离是奇数，即可得到原问题的答案。这个技巧可以用于简化一些图论问题。

总之，通过隔板法和其他数量技巧，我们可以更加轻松地解决一些排列组合问题。当然，这只是解决这类问题的方法之一，实际上还有很多其他方法，需要根据具体情况选择。希望本文能够对大家学习排列组合和数学思维有所启发。

高考数学解题技巧

隔板法是一种常见的组合数学解题技巧，常用于求解将若干个元素分配到若干个集合中的方案数。其三种经典的题型如下：。1. 将n个不同的元素分成m个非空集合的方案数。解题思路：将n个元素排成一排，通过在排列中插入m-1个分隔符表示集合的划分，每个集合至少包含一个元素，因此需要使用n-1个分隔符。则方案数为：$C_{n-1}^{m-1}$。2. 将n个不同的元素分成m个集合的方案数，其中某些集合可以为空。解题思路：同样将n个元素排成一排，通过在排列中插入m-1个分隔符表示集合的划分，且允许某些集合为空。则方案数为：$C_{n+m-1}^{m-1}$。3. 将n个不同的元素分到m个集合中，每个集合至少包含k个元素的方案数。解题思路：按照插分隔符的思路，先将k个元素分配给每个集合，再将剩余的n-km个元素分配给m个集合。则方案数为：$C_{n-km+m-1}^{m-1}$。要注意的是，在应用隔板法求解问题时，需要先确定隔板的数量，然后再根据题目要求计算方案数。而隔板数量的确定，需要根据题目的要求灵活运用。