二阶导数等于0(二阶导数等于0是拐点吗)

当一阶导数等于0而二阶导数大于0时，它就是最小点。当一阶导数等于0而二阶导数小于0时，它就是最大值。当一阶导数和二阶导数都等于0时，它们就是静止点。

二阶导数的几何意义

(1)切线斜率的变化率表示一阶导数的变化率。

(2)函数的凹凸性(例如，加速度的方向总是指向轨迹曲线的凹侧)。

这里以物理学中的瞬时加速度为例:

根据定义，A = dv/dt = dx/dt

但是，如果加速度不是常数，则某一点的加速度表达式为:

a = LiMδt→0，δv/δt = dv/dt(即速度随时间的一阶导数)

因为v=dx/dt，所以有:

A = dv/dt = dx/dt，即元件位移随时间的二阶导数

将这一思想应用于函数就是数学所说的二阶导数。

f & # 39(x)= dy/dx(f(x)的一阶导数)

f & # 39& # 39；(x)= dy/dx = d(dy/dx)/dx(f(x)的二阶导数)

二阶导数的含义

简而言之，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数是一阶导数的变化率，即一阶导数的变化率。

连续函数的一阶导数是相应的正切斜率。如果一阶导数大于0，它将增加。如果一阶的倒数小于0，它就减小。如果一阶导数等于0，它不会增加或减少。

二阶导数可以反映图像的凹凸性。二阶导数大于0，图像为凹面。二阶导数小于0，图像是凸的。二阶导数等于0，既不凹也不凸。

函数的极值可以通过结合一阶导数和二阶导数来找到。当一阶导数等于零时，二阶导数大于零时，它是最小点；当一阶导数等于零而二阶导数小于零时，它就是最大值。当一阶导数和二阶导数都等于零时，它们就是静止点。

物理图像就是把物理情景用函数图像形式来展示，对图像的认识我们要从以下几点来掌握。

一.认识坐标轴

1.分清横轴、纵轴所代表的物理量和单位以及起始坐标(起始坐标不为零是为了更好展示图像)。

2.弄清物理量是矢量还是标量。

矢量大小变化看绝对值，标量大小变化看代数值

F先变小，后反向变大再变小；Ep先变小后变大。

3.矢量只能表示两个方向

若物理量是矢量，只能表示两个方向，正方向和负方向，只能表示直线运动，不能表示曲线运动。

二.图线的特征

注意观察图像中图线的数学意义，分析图线所反映两个物理量之间的关系，找出它们之间的函数关系，进而明确图像反映的物理内涵，以及斜率、面积代表的物理意义。

1.函数表达式

例题：一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a和速度的倒数（1/v）图像如图所示.若已知汽车的质量，则根据图像所给的信息，不能求出的物理量是（D）

A.汽车的功率

B.汽车所受到的阻力

C.汽车行驶的最大速度

D.汽车运动到最大速度所需的时间

【解析】由P＝F·v和F-Ff＝ma，结合数学知识a=k/v+b，

得出：

斜率k=P/m，纵轴截距b=Ff/m。

例题：如图是一装有油的容器，将小球从油面处静止释放，若小球在油槽中运动时所受阻力与速度成正比，则小球释放后做什么运动？

a=(mg-f)/m=(mg-kv)/m

例题：一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止.下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是（）

根据匀变速直线运动规律v²-v₀²=2ax

初速度为零的匀加速直线运动的v-x图和x-v图

v=f(x)和x=f(v)是一对反函数，图像关于y=x对称，一对反函数的导数互为倒数。

例题：小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向。下列速度v和位置x的关系图象中，能描述该过程的是（A）

先写x-v函数，

下落过程：h-x=(-v)²/(-2g)，

x=h-v²，

上升过程：x=(v²-v₀²)/(-2g)

顺时针旋转，以x轴上下翻转。

例题：甲、乙两质点在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动.质点甲做初速度为零、加速度大小为a₁的匀加速直线运动，质点乙做初速度为v₀、加速度大小为a₂的匀减速直线运动，当速度减为零后保持静止.甲、乙两质点在运动过程中的x-v（位置一速度）图像如图所示，虚线与对应的坐标轴垂直，则（）

A.在x-v图像中，图线a表示质点甲的运动，质点乙的初速度v₀＝12m/s

B.质点甲的加速度大小a₁＝2m/s²

C.质点乙的加速度大小a₂＝2m/s²

D.图线a、b的交点表示两质点同时到达同一位置

2.横纵轴截距的物理含义

x-t图的纵轴截距表示起始位置，v-t图的纵轴截距表示初速度…

3.斜率的物理含义

斜率看△y/△x的含义，物理图像中斜率的含义用v-t图a=△v/△t类比。

（1）图像的斜率表示某一物理量的变化率。

①.表示物理量随时间的变化率

a.位移-时间图像的斜率表示速度

b.速度-时间图像的斜率表示加速度

c.磁通量-时间图像的斜率表示电动势

②.表示物理量随空间的变化率

a.电势-位置图像的斜率表示电场强度

b.磁感应强度-位置图像的斜率单位面积一匝线圈产生的电动势

（2）图像的斜率表示某一物理量

①.表示某一具体的物理量

a.电阻上电压-电流（R=U/I）图像的斜率表示电阻

b.电源端电压-电流（U=E-Ir）图像的斜率表示电源内电阻

c.加速度-合外力（a=F/m）图像的斜率表示质量的倒数

②.表示某几个物理量的组合

a.速度-位置图像的斜率表示加速度与速度(a/v)的比值

☞注意分清和原点连线斜率，割线斜率，切线斜率。

以“v²-x图”为例：

猜测斜率的含义方法是看单位，斜率是相除，v²/x的单位是m/s²，斜率可能表示加速度，但不确定。

k=△(v²)/△x，并非(△v)².

在一小段位移△x内，物体的加速度a可看作基本不变，根据

v²-v₀²=2ax，即△(v²)=2a△x，

斜率为2a。

一阶导数可以用来描述原函数的增减性。区间内，一阶导数大于零，单增，一阶导数小于零，单减。

二阶导数可以用来判断函数在一段区间上的凹凸性，二阶导大于零，是凹的，小于零是凸的。

三阶导数一般不用，可以用来找函数的拐点，拐点的意思是如果曲线f(x)在经过点(x₀,f(x₀))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称这个点为曲线的拐点。若f(x)在x0的某邻域内具有三阶连续导数，f’’(x₀)=0,f’’’(x₀)≠0，那么(x₀,f(x₀))是f(x)的一个拐点。

例题：甲、乙两个物体在同一直线上运动，它们的x-t图象如图所示，

其中直线b与曲线a相切于点（4s，-15m）.已知甲做匀变速直线运动，下列说确的是（）

A.前4s内两物体的运动方向相同

B.前4s内乙的位移大小为44m

C.t＝0时刻，甲的速度大小为9m/s

D.在t＝4s时，甲的速度大小为2m/s

例题：：汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止.下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是（）

k=△v/△x

=(△v/△t)/(△x/△t)=a/v

4.图线与坐标轴所围成的面积的物理含义

面积看y·△x的含义，面积的含义用v-t图△x=a△t进行类比。

物理图像中“面积”要有意义的条件是△A＝y△x，“面积”要具有可加性，过程面积具有积分性，状态面积不具有积分性。

以“1/v-x图”为例：

猜测“面积”的含义，方法是看单位，“面积”就是相乘，(1/v)·x=x/v，单位就是时间，但只是一点靠谱，不严谨。

由v-t图“面积”表示位移进行类比，受到启发，

v·△t=△x，△x即位移，△x具有可加性，因此“面积”表示位移。“面积”看y·△x的含义。

在1/v-x图中，(1/v)·△x=△x/v=t，

需要指出的是x-1/v图的面积x·△(1/v)并非表示时间。

6.图线的增减性

7.拐点的物理含义

例题：x轴上有两点电荷Q₁和Q₂，二者之间连线上各点的电势高低如图中曲线所示.选无穷远处电势为零，则从图中可以看出（AD）

A.Q₁电荷量一定小于Q₂电荷量

B.Q₁和Q₂一定为同号电荷

C.P点的电场强度为零

D.Q₁和Q₂之间连线上各点的场强方向都指向Q₂

8.渐近线的物理含义

渐近线是与图线无限靠近却永不相交的直线，表示图线斜率趋近直线斜率。

例题：如图为甲、乙两质点同时沿同一直线运动的位移一时间图像.关于两质点的运动情况，下列说确的是（）

A.在0～t₀时间内，甲、乙的运动方向相同

B.在0～2t₀时间内，甲的速度一直在减小

C.在0～t₀时间内，乙的速度一直增大

D.在0～2t₀时间内，甲、乙发生的位移不相同

例题：如图甲所示，两个带正电的小球A、B套在一个倾斜的光滑直杆上，两球均可视为点电荷，其中A球固定，带电荷量Q4＝2×10⁻⁴C，B球的质量为m＝0.1kg.以A为坐标原点，沿杆向上建立直角坐标系，B球的总势能随位置x的变化规律如图乙中曲线I所示，直线Ⅱ为曲线I的渐近线.图甲中M点离A点距离为6m.（g取10m/s²，静电力常量k＝9.0×10⁹N·m²/C²）

（1）求杆与水平面间的夹角θ；

（2）求B球的带电荷量QB；

（3）求M点电势фM；

（4）若B球以Ek₀＝4J的初动能从M点开始沿杆向上滑动，求B球运动过程中离A球的最近距离及此时B球的加速度；

（5）在图乙中画出当B球的电荷量变成-2QB时的总势能随位置x的变化规律曲线.

9.两图线交点的物理含义

10.图线的特殊点

例题：如图所示，

在倾角为θ＝30°的长斜面上有一带风帆的滑块从静止开始沿斜面下滑，滑块的质量为m＝2kg，它与斜面的动摩擦因数为μ，帆受到的空气阻力与滑块下滑的速度成正比，即f＝kv.若从静止开始下滑的速度图像如图中的曲线所示，图中的直线是t＝0时速度图像的切线，g＝10m/s².

（1）求滑块下滑的最大加速度和最大速度

（2）求μ和k的值

例题：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s²的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车.

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

（2）什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？

三.图像的转化

1.利用物体运动性质转化

例题：一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示.

取物体开始运动的方向为正方向，分析：物体运动的v-t图像.

解析：0～1s，物体加速度恒定，做加速运动；1s～2s，物体做减速运动，速度恰好减至0，故图像如图.

2.利用导数(斜率)进行转化

3.利用积分进行转化

4.利用反函数进行转化

转化为反函数的方法有：

①作y=x的对称图线

②旋转坐标轴

5.乘以常量进行转化

在光滑固定斜面的底端固定一轻质弹簧，一质量为m的小球自斜面上的某一位置静止释放，小球在斜面上运动的加速度a与其位移x之间的关系如图所示.弹簧始终处于弹性限度内，则在此过程中弹簧的最大压缩量为（√3+1）x₀

面积表示合力的功。

6.非线性与线性相互转化

例题：一个物体由静止开始沿一条直线运动，其加速度随时间的倒数的变化规律图线如图所示，

a₀和t₀已知，则下列判断正确的是（B）

A.物体在t₀前做加速度增大的加速运动

B.物体在t₀时刻的速度为a₀t₀

C.物体在t₀时间内速度增加量为a₀t₀/2

D.以上判断均错

解：A、由图知，物体在t₀前加速度不变，做初速度为零的匀加速运动，故A错误

B、1/t₀之后加速度不变，则知物体在t₀时刻的速度为a₀t₀.所以B选项是正确的.

C、物体在t₀时间内速度增加量为a₀t₀.故C错误，

D、由上知D错误.

把a-1/t图转化为a-t图，图线与t轴围成的面积表示△v.